Utilisateur:Robert FERREOL/Brouillon

Démonstration par Beecroft de la relation de Descartes, et configuration associée.[modifier | modifier le code]

Configuration de Beecroft.
Vue des quatre cercles tangents $C_{i}$ en noir, des quatre cercles tangents $C'_{i}$ grisés, et des trois cercles orthogonaux $C''_{i}$ blancs.

Étant donné trois cercles mutuellement tangents extérieurement $C_{1},C_{2},C_{3}$ de centres $O_{1},O_{2},O_{3}$ , et $C_{4}$ le cercle minimum qui les englobe, de centre $O_{4}$ non tracé sur la figure, on note $I_{k}$ le point de contact de $C_{i}$ avec $C_{j}$ ( $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$ ), et $I'_{i}$ le point de contact de $C_{i}$ avec $C_{4}$ . On note $C'_{i}$ le cercle passant par $I'_{j},I_{i},I'_{k}$ , $O'_{i}$ son centre, et $C'_{4}$ le cercle passant par $I_{1},I_{2},I_{3}$ .

On a alors les résultats démontrés par Beecroft, complétés par Soland, suivants^[1]^,^[2]^,^[3]^,^[4] :

1) Les cercles $C'_{i}$ sont mutuellement tangents, $I'_{k}$ est le point de contact de $C'_{i}$ avec $C'_{j}$ , et $I_{i}$ le point de contact de $C'_{i}$ avec $C'_{4}$ .

$C_{4}$ est le cercle inscrit dans le triangle $O'_{1}O'_{2}O'_{3}$ , $C'_{4}$ le cercle inscrit dans le triangle $O_{1}O_{2}O_{3}$ , $C'_{i}$ le cercle exinscrit associé à $O_{4}$ dans le triangle $O_{4}O_{j}O_{k}$ , et $C_{i}$ le cercle inscrit dans le triangle $(O'_{4}O'_{j}O'_{k})$ .

On note $r_{i}$ le rayon algébrique de $C_{i}$ , $k_{i}=1/r_{i}$ sa courbure algébrique, $r'_{i}$ le rayon algébrique de $C'_{i}$ , et $k'_{i}=1/r'_{i}$ sa courbure algébrique.

2) Les huit courbures vérifient les relations de Descartes : $\left(\sum _{k=1}^{4}k_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k_{i}}^{2}$ et $\left(\sum _{k=1}^{4}k'_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}$ .

Démonstration partielle

On note $a_{i}=O_{j}O_{k}$ les longueurs des côtés du triangle $(O_{1}O_{2}O_{3})$ , $p$ son demi-périmètre, $S$ son aire.

$C'_{4}$ étant le cercle inscrit dans le triangle $(O_{1}O_{2}O_{3})$ , ${r'_{4}}^{2}={\frac {S^{2}}{p^{2}}}={\frac {(p-a_{1})(p-a_{2})(p-a_{3})}{p}}$ .

D'après les propriétés du cercle inscrit, $p-a_{i}=O_{i}I_{j}=r_{i}$ , et $p=r_{1}+r_{2}+r_{3}$ , donc ${k'_{4}}^{2}={\frac {r_{1}+r_{2}+r_{3}}{r_{1}r_{2}r_{3}}}=k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}+k_{1}k_{2}$ .

Dans la configuration duale des cercles $C'_{i}$ , on a donc aussi ${k_{4}}^{2}=k'_{2}k'_{3}+k'_{3}k'_{1}+k'_{1}k'_{2}$ , et on montre qu'on a aussi : ${k'_{i}}^{2}=k_{4}k_{j}+k_{j}k_{k}+k_{k}k_{4},{k_{i}}^{2}=k'_{4}k'_{j}+k'_{j}k'_{k}+k'_{k}k'_{4}$ .

On a alors $\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}=2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 4}k'_{i}k'_{j}$ et $\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}=2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 4}k_{i}k_{j}$ .

Donc $\left(\sum _{k=1}^{4}k_{i}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 4}k_{i}k_{j}=\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}+\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}$ et de la même façon : $\left(\sum _{k=1}^{4}k'_{i}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}+\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}$ , donc $\left(\sum _{k=1}^{n}k_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}k'_{i}\right)^{2}$ , et $\sum _{k=1}^{4}k_{i}=\sum _{k=1}^{4}k'_{i}$ .

D'où les deux relations de Descartes:

\left(\sum _{k=1}^{4}k_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k_{i}}^{2}

et

\left(\sum _{k=1}^{4}k'_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}

.

3) On a l'égalité ${\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{4}k_{i}={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{4}k'_{i}=k$ et les courbures des $C_{i}$ sont reliées à celle des $C'_{i}$ par les relations $k={\frac {1}{2}}(k_{i}+k'_{i})$ .

4) Si on pose, pour $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$ , $\alpha _{i}={\frac {1}{4}}(k_{i}-k_{j}-k_{k}+k_{4})$ , les huit courbures sont paramétrées par :

${\begin{cases}k_{i}=k+\alpha _{i}-\alpha _{j}-\alpha _{k},&k'_{i}=k-\alpha _{i}+\alpha _{j}+\alpha _{k}\\k_{4}=k+\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3},&k'_{4}=k-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}\end{cases}}$ .

La relation de Descartes s'écrit alors : $k^{2}=\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+\alpha _{3}^{2}$ .

5) Géométriquement, le nombre ${\sqrt {2}}\alpha _{i}$ est la courbure du cercle $C''_{i}$ passant par les points de contact cocycliques $I_{j},I_{k},I'_{j},I'_{k}$ pour $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$ .

Les trois cercles $C''_{1},C''_{2},C''_{3}$ , deux à deux orthogonaux, déterminent la configuration des huit cercles $C_{i}$ et $C'_{i}$ .

6) Sur la sphère $\mathbb {S} ^{2}$ d'équation $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ , on marque les six points d'intersection avec les axes ${\overline {I_{i}}}:x_{i}=1,x_{j}=x_{k}=0,{\overline {I'_{i}}}:x_{i}=-1,x_{j}=x_{k}=0$ formant un octaèdre régulier.

Les trois grands cercles orthogonaux deux à deux intersections avec les plans de coordonnées $x_{i}=0$ sont notés ${\overline {C''_{i}}}$ , et les cercles circonscrits aux faces de l'octaèdre sont :

${\overline {C_{i}}}$ circonscrit à ${\overline {I'_{i}}}{\overline {I_{j}}}{\overline {I_{k}}}$ , ${\overline {C_{4}}}$ circonscrit à ${\overline {I'_{1}}}{\overline {I'_{2}}}{\overline {I'_{3}}}$ , ${\overline {C'_{i}}}$ circonscrit à ${\overline {I_{i}}}{\overline {I'_{j}}}{\overline {I'_{k}}}$ , ${\overline {C'_{4}}}$ circonscrit à ${\overline {I_{1}}}{\overline {I_{2}}}{\overline {I_{3}}}$ . Les quatre cercles ${\overline {C_{i}}}$ sont mutuellement tangents, ainsi que les quatre ${\overline {C'_{i}}}$ .

Alors, par projection stéréographique sur un plan tangent à la sphère de pôle le point antipodal du point de contact du plan avec la sphère, on obtient quatre cercles $C_{i}$ , quatre cercles $C'_{i}$ et trois cercles $C''_{i}$ du type de la configuration de départ, et on obtient ainsi toutes les configurations possibles.

↑ « Formule de Soddy - Descartes », sur Mathafou
↑ (en) Philip Beecroft, « Properties of circles in mutual contact », The Lady's and Gentleman's Diary, vol. 139,‎ 1842, p. 91–96 (lire en ligne)
↑ (en) Harold Scott Macdonald Coxeter, Introduction to geometry, New York, Wiley, 1969, p. 13-16
↑ Christoph Soland, « Le théorème de Descartes et les sangakus », 2000

En arithmétique géométrique, un nombre polytopique, ou nombre hyperpolyédrique, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polytope, ou hyperpolyèdre.

Cas des trois familles de polytopes réguliers en toutes dimensions[modifier | modifier le code]

Nombres simpliciaux ou hypertétraédriques[modifier | modifier le code]

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe, polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le $n$ -ième nombre $k$ -simplicial ou hypertétraédrique de dimension $k$ ^[1]^,^[2] est le nombre de points d'un $k$ -simplexe dont les arêtes comportent $n$ points. C'est la somme des nombres $(k-1)$ -simpliciaux d'indices 1 à $n$ , ce qui permet, grâce à la formule d'itération de Pascal, de le calculer par récurrence :

\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)=C_{n+k-1}^{k}={{n(n+1)\cdots (n+k-1)} \over {k!}}={\frac {n^{\overline {k}}}{k!}}

où $k!$ est la factorielle de $k$ , $C_{n}^{k}={n \choose k}$ est un coefficient binomial, et $n^{\overline {k}}$ une factorielle croissante.

Les nombres $k$ -simpliciaux constituent donc la $(k+1)$ -ième colonne du triangle de Pascal. Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :

$S_{1}(n)=n$ (nombres linéaires)
$S_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}$ , nombres triangulaires, suite A000217 de l'OEIS
$S_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$ , nombres tétraédriques, suite A000292 de l'OEIS
$S_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}$ , nombres pentatopiques, suite A000332 de l'OEIS
$S_{5}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{120}}$ , suite A000389 de l'OEIS
$S_{6}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}{720}}$ , suite A000579 de l'OEIS.

Nombres hypercubiques[modifier | modifier le code]

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hypercube, polytope généralisant le carré et le cube. Le $n$ -ième nombre $k$ - hypertétraédrique ou hypertétraédrique de dimension $k$ est le nombre de points d'un hypercube dont les arêtes comportent $n$ points. Il est égal à la puissance parfaite $C_{k}(n)=n^{k}$ .

Nombres hyperoctaédriques[modifier | modifier le code]

Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hyperoctaèdre, polytope généralisant le carré et l'octaèdre. Le $n$ -ième nombre $k$ - hyperoctaédrique ou hyperoctaédrique de dimension $k$ est le nombre de points d'un hyperoctaèdre dont les arêtes comportent $n$ points. Il est égal à $O_{k}(n)=\sum _{j=0}^{k-1}(-1)^{j}2^{k-j-1}{\binom {k-1}{j}}{\binom {n+k-j-1}{k-j}}$ ^[2].

Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :

$O_{1}(n)=n$ (nombres linéaires)
$O_{2}(n)=n^{2}$ , nombres carrés, suite A000290 de l'OEIS
$O_{3}(n)={n(2n^{2}+1) \over 3}$ , nombres octaédriques, suite A005900 de l'OEIS
$O_{4}(n)={n^{2}(n^{2}+2) \over 3}$ , nombres hyperoctaédriques, suite A014820 de l'OEIS
$O_{5}(n)={\frac {n(2n^{4}+10n^{2}+3)}{15}}$ , suite A069038 de l'OEIS
$O_{6}(n)={\frac {n^{2}(2n^{4}+20n^{2}+23)}{45}}$ , suite A069039 de l'OEIS.