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En mécanique des milieux continus

Confronté au problème de l'agitation moléculaire au sein de la particule non-étanche, la durée de vie de la particules ː Mecanique des Fluides sur Google Livres,

En dynamique des fluides la description lagrangienne est l'une des deux techniques qui permettent de caractériser un écoulement. Elle consiste à suivre dans le temps les particules fluides le long de leur trajectoire : c'est une description intuitive de leur mouvement. Néanmoins la description eulérienne qui repose sur le champ des vitesses est souvent préférée.

Notations

En représentation lagrangienne, la position ${\vec {r}}$ à l'instant $t$ de la particule qui se trouvait en ${\vec {r}}_{0}$ à l'instant 0 est décrite par une fonction ː

${\vec {r}}={\vec {r}}({\vec {r}}_{0},t)\,$.

Cela correspond à la description paramétrique de la trajectoire en coordonnées cartésiennes :

${\begin{cases}x=x(x_{0},y_{0},z_{0},t)\\y=y(x_{0},y_{0},z_{0},t)\,\\z=z(x_{0},y_{0},z_{0},t)\,\end{cases}}$.

La vitesse lagrangienne ne dépend que du temps et la position initiale, dérivée totale et dérivée partielle sont identiques car la seule variable est le temps ː

${\overrightarrow {v}}({\vec {r}}_{0},t)={\operatorname {d} \!{\vec {r}} \over \operatorname {d} \!t}={\partial {\vec {r}} \over \partial t}$.

Cette propriété est également valable pour toutes les grandeurs locales $f$, scalaire ou vectorielle, caractéristiques du fluide (masse volumique $\rho$, quantité de mouvement volumique $\rho \,{\overrightarrow {v}}$, énergie totale volumique $\rho \,e$, etc.) ː

${\operatorname {d} \!f \over \operatorname {d} \!t}={\partial f \over \partial t}$.

Dérivée particulaire

La dérivée particulaire permet d'exprimer le de taux de variation d'une grandeur entre une position initiale et une position finale infiniment proches après une durée infiniment courte, que ce soit dans le cas d'une description lagrangienne ou eulérienne. Elle permet de mettre en lien les deux descriptions.

Dérivée particulaire d'une grandeur scalaire

• La représentation d'Euler décrit à tout instant la valeur d'une grandeur locale $f$ associée à un point fixe de l'écoulement. La variation de cette grandeur au cours du temps est alors donnée par une dérivée partielle, parfois appelée dérivée eulérienne, notée ${\frac {\partial f}{\partial t}}$, $\partial _{t}f$, ou $f_{t}^{\,'}$.
• La représentation de Lagrange suit une particule dans son mouvement. La variation de la grandeur $f$ au cours du temps prend alors en compte non seulement la variation dans le temps mais aussi la variation dans l'espace ː elle est représentée par la dérivée particulaire ou dérivée totale ou dérivée lagrangienne notée, selon les auteurs, avec des d droits ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}$ un D majuscule ${\frac {\mathrm {D} f}{\mathrm {D} t}}$ ou $\mathrm {D} _{t}f$ (pour bien insister sur la différence entre dérivée partielle et dérivée totale). Il s'agit du rapport des différentielles.

Le lien entre la dérivée lagrangienne et la dérivée eulérienne est obtenue grâce à la relation ː

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,f$.

Le terme de gauche correspond mieux à la description lagrangienne pour laquelle les dérivées partielles n'ont pas vraiment de sens. Le terme de droite correspond mieux à la description eulérienne. Cependant, ces notations restent valables pour les deux notations. La première partie du terme de droite est le taux de variation local. La seconde partie est le taux d'accroissement convectif lié au déplacement du fluide ː il est décrit à l'aide de l'opérateur d'advection ${\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$.

Détails du raisonnement

Soit les notations $f_{L}$ et $f_{E}$ désignant une même propriété d'un fluide étudié sur une seule dimension spatiale, exprimée dans une description respectivement lagrangienne ($f_{L}$) ou eulérienne ($f_{E}$). Considérons la particule fluide $p$ passant par la coordonnée spatiale $x$ à l'instant $t$. À $t=0$ elle occupait la position $x_{0}$ de telle sorte que ː

$x=x_{0}+\int _{0}^{t}v\,\mathrm {d} t$.

On peut noter :

$f_{L}(x_{0},t)=f_{E}(x,t)$

Dans le référentiel de la particule $p$, la propriété $f_{L}(x_{0},t)$ dépend uniquement du temps. Ainsi, on peut contracter l'écriture pour obtenir une expression de $f_{L}(x_{0},t)$ qui soit spécifique à la particule $p$ :

$f_{L}(x_{0},t)=f_{L_{0}}(t)$.

Au temps $t+\delta t$, la particule $p$ possède la coordonnée spatiale $x+\delta x$. L'équivalence entre la description Lagrangienne et Eulérienne s'écrit alors de la manière qui suit:

$f_{L_{0}}(t+\delta t)=f_{E}(x+\delta x,t+\delta t)$.

Naturellement, l'expression suivante peut alors être établie :

$f_{L_{0}}(t+\delta t)-f_{L_{0}}(t)=f_{E}(x+\delta x,t+\delta t)-f_{E}(x,t)$.

Un développement limité permet une approximation de cette variation ; le théorème de Taylor assure pour le membre de gauche ː

$f_{L_{0}}(t+\delta t)-f_{L_{0}}(t)={\frac {\mathrm {d} f_{L_{0}}}{\mathrm {d} t}}\delta t+{\frac {1}{2!}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}f_{L_{0}}}{\mathrm {d} t^{2}}}\delta t^{2}+...+o(\delta t^{n})$.

Pour le membre de droite, un développement limité bidimensionnel donne :

$f_{E}(x+\delta x,t+\delta t)-f_{E}(x,t)={\frac {\partial f_{E}}{\partial t}}\delta t+{\frac {\partial f_{E}}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial x\partial t}}\delta x\,\delta t+{\frac {1}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial ^{2}t}}\delta t^{2}+{\frac {1}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f_{E}}{\partial ^{2}x}}\delta x^{2}+...+o(\delta t^{n},\delta x^{n})$.

En se plaçant dans le cas limite où $\delta x$ et $\delta t$ tendent vers $0$, on note $\delta x=\mathrm {d} x$ et $\delta t=\mathrm {d} t$ et on se contente d'une approximation linéaire, en ne conservant que les termes d'ordre 1. Cette approximation permet d'utiliser le calcul différentiel et d'écrire

$\mathrm {d} f_{E}=f_{E}(x+\mathrm {d} x,t+\mathrm {d} t)-f_{E}(x,t)$,

et

$\mathrm {d} f_{L_{0}}=f_{L_{0}}(t+\mathrm {d} t)-f_{L_{0}}(t)$.

la relation entre les deux fonctions différentielles est donc ː

$\mathrm {d} f_{L_{0}}={\frac {\partial f_{E}}{\partial t}}\mathrm {d} t+{\frac {\partial f_{E}}{\partial x}}\mathrm {d} x=\mathrm {d} f_{E}$,

Pour une grandeur lagrangienne, à une seule variable, la dérivée totale et la dérivée partielle sont évidemment identiques ${\frac {\mathrm {d} f_{L_{0}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f_{L_{0}}}{\partial t}}$, alors

${\frac {\mathrm {d} f_{L_{0}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f_{L_{0}}}{\partial t}}={\frac {\partial f_{E}}{\partial t}}+v\ {\frac {\partial f_{E}}{\partial x}}={\frac {\mathrm {d} f_{E}}{\mathrm {d} t}}$.

La dérivée totale de $f_{E}$ correspond en fait à la simple dérivée temporelle de $f_{L_{0}}$. Cela peut faciliter l'intégration d'équations aux dérivées partielles faisant intervenir la dérivée totale. Ainsi, la dérivée totale de $f_{E}$ peut être remplacée par la dérivée temporelle de $f_{L_{0}}$. Une éventuelle intégration suppose bien sûr d'être réalisée en remplaçant $f_{E}$ par $f_{L_{0}}$. Le résultat peut ensuite être reconverti en remplaçant, à l'inverse, $f_{L_{0}}$ par $f_{E}$ dans la solution éventuelle.

Compte tenu du fait que ${\frac {\partial f_{L_{0}}}{\partial x}}=0$ car $f_{L_{0}}$ ne dépend pas de $x$, ou peut écrire quelque soit le type de description ː

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+v\ {\frac {\partial f}{\partial x}}$.

Le même raisonnement peut être tenu sur trois dimensions spatiales, ce qui aboutit au résultat présenté précédemment.

Dérivée particulaire d'une grandeur vectorielle

En appliquant la dérivée particulaire à chaque composante d'une grandeur vectorielle locale ${\overrightarrow {\varphi }}={\begin{pmatrix}\varphi _{x}\\\varphi _{y}\\\varphi _{z}\end{pmatrix}}$ (vitesse, quantité de mouvement volumique, etc.) on obtient ː

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\varphi }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\overrightarrow {\varphi }}}{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }})\,{\overrightarrow {\varphi }}$.

Dérivée particulaire d'une intégrale de volume

Dérivée particulaire d'une grandeur scalaire

Lorsque l'on s'intéresse à une grandeur scalaire globale $\mathrm {K}$ (masse, quantité de mouvement ou énergie, d'un volume de fluide donné, etc.) obtenue par intégration d'une grandeur volumique $\kappa$ sur un volume $V$ de surface frontière $S$,

$\mathrm {K} =\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\kappa ~\mathrm {d} V$,

un raisonnement assez similaire peut être tenu. L'expression de la dérivée particulaire est donnée par le théorème de transport de Reynolds qui fait apparaître un terme d'accumulation, indépendamment du déplacement du fluide, et un terme convectif qui représente la variation due au déplacement du fluide ː

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\frac {\partial \kappa }{\partial t}}~\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\kappa ~{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$.

Cette expression peut être modifiée en faisant intervenir le théorème de flux-divergence ː

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+\mathrm {div} \left(\kappa ~{\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V$.

Sachant que $\mathrm {div} (\kappa {\overrightarrow {v}})={\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ \kappa +\kappa \ \mathrm {div} \ {\overrightarrow {v}}$, et sans oublier la relation de la dérivée particulaire pour la grandeur locale, ${\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,\kappa$, une dernière forme équivalente peut enfin être utilisée ː

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}+\kappa \ \mathrm {div} \ {\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V$.

Dérivée particulaire d'une grandeur scalaire

En appliquant la relation précédente à chaque que composante d'une grandeur vectorielle ${\overrightarrow {\Psi }}$ obtenue par intégration d'une grandeur volumique ${\overrightarrow {\psi }}$ sur un volume $V$ de surface frontière $S$, de sorte que ${\overrightarrow {\Psi }}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {\psi }}~\mathrm {d} V$, il vient ː

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\Psi }}}{\mathrm {d} t}}\ &=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial {\overrightarrow {\psi }}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left({\overrightarrow {\psi }}\otimes {\vec {v}}\right)\right)\mathrm {d} V\\&=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\psi }}}{\mathrm {d} t}}+{\overrightarrow {\psi }}\ \mathrm {div} \ {\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V\\\end{alignedat}}$,.

Le symbole $\otimes$ représente le produit dyadique.

Dérivée particulaire seconde

En introduisant dans un cas bidimensionnel la différentielle d'ordre 2 ː

$\mathrm {d} ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial x}}(\mathrm {d} x)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial t}}\mathrm {d} x\;\mathrm {d} t+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t\partial t}}(\mathrm {d} t)^{2}$,

on retrouve l'expression de la dérivée particulaire seconde ː

${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}+2\,v\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial t}}+v^{2}\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}$.

Notes et références

Liens externes

• [PDF] Gilles Leborgne, « Mécanique. Mouvements. Fonctions lagrangiennes et eulériennes. Principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement, des moments. Référentiels absolu, relatif et d'entraînement, Coriolis. Objectivité. », sur isima.fr, 5 août 2015 (consulté le 15 août 2016)

Articles liés

• Dynamique des fluides
• Mécanique des milieux continus
• (en) Lagrangian description dans l'article Continuum mechanics