Triangles orthologiques
En géométrie, deux triangles sont dits orthologiques si les perpendiculaires issues des sommets de l'un d'eux aux côtés correspondants de l'autre sont concourantes (c'est-à-dire qu'elles se coupent en un seul point ). Il s'agit d'une propriété symétrique ; c'est-à-dire que si les perpendiculaires des sommets A, B, C du triangle △ABC aux côtés EF, FD, DE du triangle △DEF sont concourantes alors les perpendiculaires issues des sommets D, E, F de △DEF aux côtés BC, CA, AB de △ABC sont également concourantes. Les points de concurrence sont appelés centres orthologiques des deux triangles[1],[2], et si ces deux points sont différents, la droite passant par ces deux points est appelée axe d'orthologie.
Quelques paires de triangles orthologiques[modifier | modifier le code]
Pour un triangle de référence ABC, plusieurs triangles qui lui sont liés sont orthologiques avec celui-ci[3]:
- son triangle médian (centres d'orthologie : orthocentre et centre du cercle circonscrit de ABC ; axe d'orthologie : droite d'Euler de ABC)
- son triangle anticomplémentaire (centres d'orthologie : orthocentre et centre du cercle circonscrit du triangle anti-complémentaire ; axe d'orthologie : droite d'Euler du triangle anti-complémentaire)
- son triangle orthique (centres d'orthologie : orthocentre et centre du cercle circonscrit de ABC ; axe d'orthologie : droite d'Euler de ABC)
- son triangle de contact (le triangle dont les sommets sont les points de contact du cercle inscrit avec les côtés de ABC) (centres d'orthologie : centres des cercles inscrits du triangle ABC et du triangle médian de ABC)
- son triangle tangentiel (centre unique d'orthologie : centre du cercle circonscrit de ABC)
- son triangle de Nagel (le triangle dont les sommets sont les points de contact des cercles exinscrits avec les côtés respectifs du triangle ABC)
- le triangle formé par les bissectrices des angles extérieurs du triangle ABC
- le triangle podaire de tout point P dans le plan du triangle ABC
Caractérisation[modifier | modifier le code]
On peut établir que deux triangles sont orthologiques par les résultats suivants :
Théorème — Les triangles △ABC et △DEF sont orthologiques si et seulement si :
Théorème — Les triangles △ABC et △DEF sont orthologiques si et seulement si, pour tout point M du plan :
Propriétés[modifier | modifier le code]
La relation d'orthologie est symétrique, mais pas transitive.
Les centres d'orthologie sont confondus si et seulement si les deux triangles sont en homologie.
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Orthologic triangles » (voir la liste des auteurs).
- (en) Eric W. Weisstein, « Orthologic Triangles », sur MathWorld
- W. Gallatly, Modern Geometry of the Triangle, F. Hodgson, , 55–56 p. (lire en ligne)
- (en) Florentin Smarandache et Ion Patrascu, The Geometry of the Orthological triangles (lire en ligne)