Transformée sans parfum

La transformée sans parfum est une méthode permettant de calculer les statistiques d’une variable aléatoire qui subit une transformation non linéaire .

Elle est fondée sur l’idée qu’il est plus facile d’estimer une distribution gaussienne que d’approcher une fonction non linéaire .

Contexte

Considérons le système non linéaire $y=f(x)$, avec $x$ une variable aléatoire de moyenne ${\bar {x}}$ de covariance $P_{xx}$ et $y$ une variable aléatoire de statistique à déterminer. Un ensemble de points est choisi de manière déterministe telle que sa moyenne et sa covariance soient respectivement ${\bar {x}}$ et $P_{xx}$.

Ces points nommées "points sigma" capturent la forme de la densité de probabilité de $x$ .

La fonction non linéaire $f$ est appliquée à chacun de ces points afin d’obtenir un nuage de points transformés de moyenne ${\bar {y}}$ et covariance $P_{yy}$.

La densité de probabilité de la variable aléatoire x de dimension n, de moyenne ${\bar {x}}$ et de covariance $P_{xx}$ est approchée par $2n+1$ points pondérés donnés par :

$s_{0}={\bar {x}}$

$s_{i}={\bar {x}}+({\sqrt {(n+\lambda )P_{xx}}})_{i}\quad i=1,..,n$

$s_{i+n}={\bar {x}}-({\sqrt {(n+\lambda )P_{xx}}})_{i}\quad i=1,..,n$

$W_{0}={\frac {\lambda }{(n+\lambda )}}$

$W_{i}=W_{i+n}={\frac {1}{2(n+\lambda )}}\quad i=1,..,n$

où $\lambda \in \mathbb {R}$, $({\sqrt {(n+\lambda )P_{xx}}})_{i}$ est la $i^{eme}$ ligne ou colonne de la matrice racine carrée de $(n+\lambda )P_{xx}$ et $W_{i}$ est le poids associé au $i^{eme}$ point.

Procédure

La procédure de transformation est la suivante :

1. Transformer chaque point $\chi _{i}$ par la fonction non linéaire $f$ afin d'obtenir l'ensemble des points transformés :$\Upsilon _{i}=f(\chi _{i})$
2. La moyenne ${\bar {y}}$ est donnée par la moyenne pondérée des points transformés : ${\bar {y}}=\sum _{i=0}^{2n}W_{i}\times \Upsilon _{i}$
3. La matrice de covariance $P_{yy}$ est donnée par : $P_{yy}=\sum _{i=0}^{2n}W_{i}(\Upsilon _{i}-{\bar {y}})(\Upsilon _{i}-{\bar {y}})^{T}$