Théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch

En mathématiques, le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch, du nom de Friedrich Hirzebruch, Bernhard Riemann et Gustav Roch, est un résultat démontré par Hirzebruch en 1954 donnant une réponse au problème de Riemann-Roch pour les variétés algébriques complexes en toutes dimensions. Ce fut la première généralisation du théorème de Riemann-Roch classique pour les surfaces de Riemann, avant le théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch démontré trois ans plus tard.

Énoncé

Le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch s'applique à tout fibré vectoriel holomorphe E sur une variété complexe compacte X, pour calculer la caractéristique d'Euler holomorphe de E,c'est-à-dire

$\chi (X,E)=\sum _{i=0}^{\dim _{\mathbb {C} }X}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)$

Le théorème exprime χ(X, E) en fonction des classes de Chern C_j(E) de E, et des polynômes de Todd T_j en les classes de Chern du fibré tangent holomorphe de X. Il s'agit d'éléments de l'anneau de cohomologie de X; en utilisant la classe fondamentale (en) (c'est-à-dire, l'intégration sur X) on peut les considérer comme des nombres. Voici donc le théorème de Riemann-Roch-Hirzebruch :

$\chi (X,E)=\sum _{j=0}^{n}\operatorname {ch} _{n-j}(E){\frac {T_{j}}{j!}},$

ch(E) désignant le caractère de Chern en cohomologie

$\operatorname {ch} (E)=\sum \exp(x_{i}).$

On peut donc reformuler le théorème comme suit :

$\chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)$

où td(X) est la classe de Todd du fibré tangent à X.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hirzebruch–Riemann–Roch theorem » (voir la liste des auteurs).