Théorème de Crocco
Le théorème de Crocco en mécanique des fluides exprime la relation entre vorticité, enthalpie et entropie. Il a été établi par Luigi Crocco en 1937[1]. Il avait été précédemment énoncé par Alexander Friedmann dans un cas particulier en 1922[2].
Énoncé
[modifier | modifier le code]Pour un écoulement non visqueux, l'enthalpie totale est reliée à l’enthalpie massique et à la vitesse :
où h est l'enthalpie massique, h0 l'enthalpie d'arrêt (ou enthalpie génératrice) et V la vitesse. On en déduit
Par ailleurs la relation thermodynamique liant l'enthalpie à l'entropie S, la température T, la masse volumique ρ et la pression p permet d'écrire
En l'absence de force extérieure l'équation de quantité de mouvement s'écrit :
On a l'identité suivante, faisant apparaître le vecteur tourbillon
En réunissant les expressions précédentes on peut écrire
Cette expression est l'une des formes possibles du théorème de Crocco[3].
Interprétation pour un écoulement isenthalpique
[modifier | modifier le code]Si l'on suppose un écoulement isenthalpique (ce qui est souvent le cas en aérodynamique), l'enthalpie totale h0 est alors constante et le gradient est égal à zéro : .
L'entropie et le vecteur tourbillon sont alors directement reliés par :
Ainsi, si un écoulement est isentropique et isenthalpique alors il est également irrotationnel. L'inverse est également valide, un écoulement irrotationnel et isenthalpique est isentropique.
En revanche, si un écoulement isenthalpique n'est pas isentropique (comme derrière une onde de choc droite en régime supersonique) alors l'écoulement est rotationnel.
Références
[modifier | modifier le code]- (de) Crocco L., « Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation », ZAMM, vol. 17, no 1, , p. 1–7 (lire en ligne)
- (ru) Alexander Friedmann, An essay on hydrodynamics of compressible fluid (Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости), , 198-373 p. (lire en ligne)
- (en) H. W. Liepmann et A. Roshko, Elements of Gasdynamics, Dover Publications, (lire en ligne)
Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Richard Fitzpatrick, « Fluid Mechanics »
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Crocco's theorem » (voir la liste des auteurs).