On va tout d'abord montrer que
.
Comme
est symétrique on a :
En particulier
représente le nombre de 1 dans la i-ème ligne de
. Ainsi en remplaçant dans l'équation on obtient :
et donc
.
D'autre part on a aussi
. Ainsi en remplaçant à nouveau dans l'équation on obtient :
et donc ![{\displaystyle d^{2}+1=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a49bd0dd5402e35c99b960801f713161117c0c)
.
Cherchons ensuite des contraintes sur les valeurs propres de la matrice
.
Soit donc
une valeur propre de
et
un vecteur propre associé. On a donc aussi :
Et donc
est une valeur propre de la matrice
associée à
, or cette matrice a pour valeurs propres 0 (associée à un sous-espace propre de dimension
) et
(associé à un sous-espace propre de dimension
) avec de plus
.
Ainsi :
- soit
et alors
;
- soit
et donc
avec :
.
Donnons les valeurs possible pour d.
donc elle est diagonalisable avec comme valeurs propres
et des sous-espaces propres associés de dimensions
, et comme la trace de
est nulle on a :
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1+\alpha _{1}+\alpha _{2}=n=d^{2}+1\\d+\alpha _{1}\lambda _{1}+\alpha _{2}\lambda _{2}=0.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b18cd310170f1bf1ae7467890b2819769585d6f)
La seconde équation donne :
donc d'après la première relation
ou encore
.
- Si
alors
.
- Sinon, on doit avoir
donc
on a alors
donc
divise
donc
divise
donc en particulier
divise 15 et donc
d'où
.