En mathématiques, les multi-indices généralisent la notion d'indice entier en permettant d'envisager plusieurs variables entières pour une indexation. L'utilisation des multi-indices a pour but de simplifier les formules qu'on rencontre dans le calcul à plusieurs variables, que ce soit pour le calcul polynomial ou en analyse vectorielle.
Un multi-indice de taille n est un vecteur
![{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70122d07b448b26cbd14d9542d648d5c761d3107)
à coefficients
entiers positifs.
Au multi-indice α est associé
sa longueur (parfois appelée module)
, définie par :
![{\displaystyle |\alpha |\ =\ \sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\ =\ \alpha _{1}\ +\ \dots \ +\ \alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c7df2ff66a701e86c0ce16975867a3ceb8b9ea)
On utilise pour un vecteur
de composantes
,
une notation sous forme d'exponentiation pour représenter le calcul polynomial
![{\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}^{\alpha _{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8477f2fbe394e0d8c1ab6e4d530c5dce87e2e5e)
Et on peut introduire l'opérateur différentiel
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }:=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}\qquad {\hbox{avec}}\qquad \partial _{i}^{j}:={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{i}^{j}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0336292013abf8bcaf22a2c5c13734f7bb0649)
Il faut prendre garde à n'utiliser cette notation que dans le cas de fonctions pour lesquelles l'ordre des dérivations n'importe pas (c'est-à-dire vérifiant par exemple les conditions du théorème de Schwarz).
Plus généralement, on peut définir un opérateur différentiel d'ordre N pour n variables par une formule telle que
![{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd6026d649e73c28c5cb95d68a2bdfbd2e9cf18)
Pour écrire les formules classiques, on introduit une multi-factorielle généralisant la factorielle :
![{\displaystyle \alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce7bdec9ebb6ab19d90b8583ea3d1aab9d16fd8)
Et il est possible de généraliser les coefficients binomiaux :
![{\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b562089590a89d441246f8b8ffbb5eb695dc9b72)
Les coefficients multinomiaux peuvent également s'écrire à l'aide d'une notation multi-indice :
où ![{\displaystyle |\alpha |=k\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5b5d5bee473c980727adc72f1e8fa5f5942b1a)
Enfin pour décrire les domaines d'indexation il est utile de donner une relation d'ordre partielle sur les multi-indices
![{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Longleftrightarrow \quad \forall i\in [\![1;n]\!],\quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c500a9f5861984ccc30814f98222c7e41491a5)
Avec ces notations un certain nombre de formules classiques s'écrivent de façon relativement compacte et admettent des généralisations vectorielles.
Généralisation de la formule du binôme de Newton
![{\displaystyle \left(\mathbf {x} +\mathbf {y} \right)^{\alpha }=\sum _{\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }\,\mathbf {x} ^{\alpha -\beta }\mathbf {y} ^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5154093a607b4ed307b256d85e9e3e063b7ea4d)
On peut également donner une écriture compacte de la formule du multinôme
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cc267471f8adee870fc296cdb85bf98e8e095b)
Il est souvent utile de disposer de l'effet d'un opérateur différentiel sur un monôme
![{\displaystyle \partial ^{i}x^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\hbox{si}}\,\,i\leq k\\0&{\hbox{sinon.}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48db1e8ad4d99960249d1717344fa03be82660e)
Généralisation de la formule de Leibniz pour deux fonctions numériques suffisamment régulières u, v
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }u\,\partial ^{\alpha -\nu }v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e657f3768f67d57efbfd6260084c4309debb3b81)
Il en découle une formule d'intégration par parties : pour des fonctions suffisamment régulières dont l'une au moins est à support compact il vient
![{\displaystyle \int {u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int {(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046efd37e1fd47fb742057c5a52a17eb92a946ec)
Formule qui est utile par exemple en distribution.
Écriture des différentes formules de Taylor: pour une fonction suffisamment régulière
![{\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{|\alpha |!}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c68a570b9522d2e4129d6d3537c05218a70ca4)
où l'expression du dernier terme (reste) dépend de la formule utilisée. Par exemple pour la formule avec reste intégral il vient
![{\displaystyle R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{|\alpha |!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd8afd6379deb6fde6a63d3eba2022741a4bebf)