Intégrales à double opérateur

En analyse fonctionnelle, les intégrales à double opérateur (abrégé en IDO, en anglais Double Operator Integrals (DOI) ) sont des intégrales de la forme

$\operatorname {Q} _{\varphi }:=\int _{N}\int _{M}\varphi (x,y)\mathrm {d} E(x)\operatorname {T} \mathrm {d} F(y),$

où $\operatorname {T} :G\to H$ est un opérateur linéaire borné entre deux séparable espaces de Hilbert,

$E:(N,{\mathcal {A}})\to P(H),$

$F:(M,{\mathcal {B}})\to P(G)$

sont des measures spectrales, où $P(H)$ représente l'ensemble des projections orthogonales sur $H$, et $\varphi$ est une fonction mesurable et scalaire et $\varphi$ est appelle symbole de IDO. Les intégrales s'entendent ici sous la forme des intégrales de Stieltjes.

Les IDOs sont apparues pour la première fois en 1956 dans un article de Yuri L. Daletskii et Selim G. Krein, qui ont examiné deux endomorphismes autoadjoints $A$ et $K$ sur des espaces de Hilbert (où $K$ est la perturbation de $A$ est) et la dérivée pour certaines fonctions à valeur d'opérateur

$t\mapsto f(A+tK),\quad f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$

sous la forme suivante

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(f(A+tK)\right){\bigr \vert }_{t=0}=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\mathrm {d} E_{A}(x)K\mathrm {d} E_{A}(y)$

trouvé, où $E_{A}(\cdot )$ est la mesure spectrale de $A$.

La théorie des intégrales à double opérateur a été principalement développée par Mikhail Schljomowitsch Birman et Mikhail Zakharovich Solomyak à la fin des années 1960 et 1970.

L'IDO peut être utilisée pour représenter des normes de différences d'opérateurs

$\|f(A)-f(B)\|$

pour $f$ operator-lipschitzienne fonctionne et sont donc importantes dans la théorie des perturbations.

Intégrales à double opérateur

La définition de l'intégrale induit directement une autre application

$\operatorname {Q} _{\varphi }=\operatorname {J} _{\varphi }^{E,F}\operatorname {T} ,$

qu'on appelle transformateur.

Il s'avère que la définition de tels IDOs ainsi que la classe de symboles autorisés $\varphi$ dépendent du choix des espaces d'opérateurs considérés. Dans la considération originale de Birman-Solomyak, l'opérateur $T$ était limité à la classe des opérateurs de Hilbert-Schmidt ${\mathcal {S}}_{2}$. Cependant, la définition peut être étendue à d'autres classes de Schatten-von Neumann ou à des opérateurs restreints généraux $T$ tant que $\operatorname {Q} _{\varphi }$ reste également borné.

Birman-Solomyak a maintenant défini la mesure de produit spectral suivante ${\mathcal {E}}$

${\mathcal {E}}(\Lambda \times \Delta )\operatorname {T} :=E(\Lambda )\operatorname {T} F(\Delta ),\quad \operatorname {T} \in {\mathcal {S}}_{2},$

pour les ensembles mesurables $\Lambda \times \Delta \subset N\times M$, où par $\operatorname {Q} _{\varphi }$ par

$\operatorname {Q} _{\varphi }:=\left(\int _{N\times M}\varphi (\lambda ,\mu )\;\mathrm {d} {\mathcal {E}}(\lambda ,\mu )\right)\operatorname {T}$

pour les fonctions bornées et mesurables, $\varphi$ peut être défini.

Exemple d'application de la théorie des perturbations

On considère un espace de Hilbert $H=G$ et deux opérateurs autoadjoints bornés $A,B$ sur $H$. Soit maintenant $\operatorname {T} :=B-A$ et $f$ une fonction sur un ensemble qui a le spectres de $A,B$ contient. De plus, laissez $\operatorname {J} _{f}:=\operatorname {J} _{f}^{E,F}$ être le transformateur et $I$ être l'opérateur d'identité. D'après le théorème spectral $\operatorname {J} _{\lambda }I=A$ et $\operatorname {J} _{\mu }I=B$ apply et $\operatorname {J} _{\mu -\lambda }I=\operatorname {T}$, il s'ensuit

$f(B)-f(A)=\operatorname {J} _{f(\mu )-f(\lambda )}I=\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {J} _{\mu -\lambda }I=\operatorname {J} _{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\operatorname {T} =\operatorname {Q} _{\varphi }$

Et ainsi

$f(B)-f(A)=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}(\mu -\lambda )\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\mathrm {d} F_{B}(\mu )=\int _{\sigma (A)}\int _{\sigma (B)}{\frac {f(\mu )-f(\lambda )}{\mu -\lambda }}\mathrm {d} E_{A}(\lambda )\operatorname {T} \mathrm {d} F_{B}(\mu ).$

Bibliographie

• (en) M. S. Birman et M. Z. Solomyak, « Double Stieltjes operator integrals », Topics of Math. Physics, Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, vol. 1,‎ 1967, p. 25-54
• (en) M. S. Birman et M. Z. Solomyak, « Double Stieltjes operator integrals. II », Topics of Math. Physics, Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, vol. 2,‎ 1968, p. 19-46
• (en) Vladimir V. Peller, « Multiple operator integrals in perturbation theory », Bull. Math. Sci., vol. 6,‎ 2016, p. 15-88 (DOI 10.1007/s13373-015-0073-y)
• (en) M. S. Birman et M. Z. Solomyak, Lectures on Double Operator Integrals, 2002
  un mini-cours donné par les auteurs à l'Institut Mittag-Leffler
• (en) Alan Carey et Galina Levitina, « Double Operator Integrals », dans Index Theory Beyond the Fredholm Case, Cham, Springer, 2022 (DOI 10.1007/978-3-031-19436-8_2), p. 15-40.