Inégalité de Lebedev-Milin

En mathématiques, l'inégalité de Lebedev–Milin est l'une des nombreuses inégalités concernant les coefficients de l'exponentielle d'une série entière, trouvée par Lebedev et Milin 1965. Elle est utilisée dans la démonstration de la conjecture de Bieberbach, en montrant que la conjecture de Milin implique la conjecture de Robertson.

Explication

Etant donné une série exponentielle,

$\sum _{k\geq 0}\beta _{k}z^{k}=\exp \left(\sum _{k\geq 1}\alpha _{k}z^{k}\right)$

pour $\beta _{k}$ et $\alpha _{k}$ complexes, et $n$ est un entier positif, alors

$\sum _{k=0}^{\infty }|\beta _{k}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k|\alpha _{k}|^{2}\right),$

$\sum _{k=0}^{n}|\beta _{k}|^{2}\leq (n+1)\exp \left({\frac {1}{n+1}}\sum _{m=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}(k|\alpha _{k}|^{2}-1/k)\right),$

$|\beta _{n}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{n}(k|\alpha _{k}|^{2}-1/k)\right).$

Voir aussi formule exponentielle (sur l'exponentiation des séries entières).

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lebedev–Milin inequality » (voir la liste des auteurs).