Représentation graphique de la fonction G de Barnes sur la droite réelle. En mathématiques , la fonction G de Barnes est une fonction qui prolonge la superfactorielle aux nombres complexes . Elle est reliée à la fonction gamma , à la fonction K , ainsi qu'à la constante de Glaisher-Kinkelin . Elle est nommée d'après le mathématicien Ernest William Barnes [ 1]
Formellement, la fonction G de Barnes est définie par le produit de Weierstrass suivant:
G
(
1
+
z
)
=
(
2
π
)
z
/
2
exp
(
−
z
+
z
2
(
1
+
γ
)
2
)
∏
k
=
1
∞
{
(
1
+
z
k
)
k
exp
(
z
2
2
k
−
z
)
}
{\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}
où
γ
{\displaystyle \,\gamma }
constante d'Euler–Mascheroni , exp la fonction exponentielle .
La fonction G de Barnes satisfait à l'équation fonctionnelle suivante
G
(
z
+
1
)
=
Γ
(
z
)
G
(
z
)
{\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}
avec la condition G (1) = 1. Cette équation fonctionnelle est similaire à celle de la fonction gamma :
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
.
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}
L'équation précédente implique que G prend les valeurs suivantes sur les naturels :
G
(
n
)
=
{
0
si
n
∈
Z
/
N
∏
i
=
0
n
−
2
i
!
si
n
=
N
∗
{\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{si }}n\in \mathbb {Z} /\mathbb {N} \\[2pt]\displaystyle \prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{si }}n=\mathbb {N} ^{*}\end{cases}}}
(en particulier,
G
(
0
)
=
0
,
G
(
1
)
=
1
{\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1}
G
(
n
)
=
(
Γ
(
n
)
)
n
−
1
K
(
n
)
{\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}
où
Γ
(
x
)
{\displaystyle \,\Gamma (x)}
fonction gamma et K la fonction K . L'équation fonctionnelle décrit de manière unique G si l'on ajoute la condition de convexité :
(
∀
x
≥
1
)
d
3
d
x
3
log
(
G
(
x
)
)
≥
0
{\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}
La valeur en 1/2 de la fonction G vaut
G
(
1
2
)
=
2
1
24
e
3
2
ζ
′
(
−
1
)
π
−
1
4
.
{\displaystyle G\left({\frac {1}{2}}\right)=2^{\frac {1}{24}}{\mathrm {e} }^{{\frac {3}{2}}\zeta '(-1)}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}
ζ' désigne la dérivée de la fonction zeta de Riemann .
Les équations fonctionnelles sur la fonction G et gamma peuvent être utilisées pour obtenir la formule suivante (prouvée à l'origine par Hermann Kinkelin (en)
log
G
(
1
−
z
)
=
log
G
(
1
+
z
)
−
z
log
2
π
+
∫
0
z
π
x
cot
π
x
d
x
.
{\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,\mathrm {d} x.}
L'intégrale log-tangente du membre de droite peut être évaluée en fonction de la fonction de Clausen (d'ordre 2), comme indiqué ci-dessous :
2
π
log
(
G
(
1
−
z
)
G
(
1
+
z
)
)
=
2
π
z
log
(
sin
π
z
π
)
+
Cl
2
(
2
π
z
)
{\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}
La preuve repose sur une intégration par partie et la définition de la fonction de Clausen.
En utilisant l'équation
G
(
1
+
z
)
=
Γ
(
z
)
G
(
z
)
{\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}
log
(
G
(
1
−
z
)
G
(
z
)
)
=
z
log
(
sin
π
z
π
)
+
log
Γ
(
z
)
+
1
2
π
Cl
2
(
2
π
z
)
{\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}
Le changement de variable z en 1/2 − z donne la formule suivante (faisant intervenir les polynômes de Bernoulli ) :
log
(
G
(
1
2
+
z
)
G
(
1
2
−
z
)
)
=
{\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=}
log
Γ
(
1
2
−
z
)
+
B
1
(
z
)
log
2
π
+
1
2
log
2
+
π
∫
0
z
B
1
(
x
)
tan
π
x
d
x
{\displaystyle \log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,\mathrm {d} x}
Par le théorème de Taylor , en considérant les dérivés logarithmiques de la fonction de Barnes, on peut obtenir le développement suivant:
log
G
(
1
+
z
)
=
z
2
log
2
π
−
(
z
+
(
1
+
γ
)
z
2
2
)
+
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
ζ
(
k
)
k
+
1
z
k
+
1
.
{\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}
qui est valide pour
0
<
z
<
1
{\displaystyle \,0<z<1}
ζ
(
x
)
{\displaystyle \,\zeta (x)}
fonction zêta de Riemann :
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
.
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}
Cela fournit l'égalité :
G
(
1
+
z
)
=
exp
[
z
2
log
2
π
−
(
z
+
(
1
+
γ
)
z
2
2
)
+
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
ζ
(
k
)
k
+
1
z
k
+
1
]
=
(
2
π
)
z
/
2
exp
[
−
z
+
(
1
+
γ
)
z
2
2
]
exp
[
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
ζ
(
k
)
k
+
1
z
k
+
1
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}
En comparant cette dernière égalité avec la forme produit de la fonction de Barnes, on obtient :
exp
[
∑
k
=
2
∞
(
−
1
)
k
ζ
(
k
)
k
+
1
z
k
+
1
]
=
∏
k
=
1
∞
{
(
1
+
z
k
)
k
exp
(
z
2
2
k
−
z
)
}
{\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}
De même que la fonction gamma, la fonction G a une formule multiplicative :
G
(
n
z
)
=
K
(
n
)
n
n
2
z
2
/
2
−
n
z
(
2
π
)
−
n
2
−
n
2
z
∏
i
=
0
n
−
1
∏
j
=
0
n
−
1
G
(
z
+
i
+
j
n
)
{\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}
où
K
(
n
)
{\displaystyle K(n)}
K
(
n
)
=
e
−
(
n
2
−
1
)
ζ
′
(
−
1
)
⋅
n
5
12
⋅
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
=
(
A
e
−
1
12
)
n
2
−
1
⋅
n
5
12
⋅
(
2
π
)
(
n
−
1
)
/
2
.
{\displaystyle K(n)=\mathrm {e} ^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(A\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}
et
A
{\displaystyle A}
constante de Glaisher–Kinkelin .
Le logarithme de G (z + 1) a le développement asymptotique suivant, établi par Barnes :
log
G
(
z
+
1
)
=
z
2
2
log
z
−
3
z
2
4
+
z
2
log
2
π
−
1
12
log
z
+
(
1
12
−
log
A
)
+
∑
k
=
1
N
B
2
k
+
2
4
k
(
k
+
1
)
z
2
k
+
O
(
1
z
2
N
+
2
)
.
{\displaystyle \log G(z+1)={\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).}
où
B
k
{\displaystyle B_{k}}
nombres de Bernoulli . Ce développement est valide pour
z
{\displaystyle z}
|
z
|
{\displaystyle |z|}
La fonction Loggamma est reliée à la fonction G par l'équation :
∫
0
z
log
Γ
(
x
)
d
x
=
z
(
1
−
z
)
2
+
z
2
log
2
π
+
z
log
Γ
(
z
)
−
log
G
(
1
+
z
)
{\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}
La preuve consiste d'abord à étudier la différence logarithmique de la fonction gamma et de la fonction G de Barnes :
z
log
Γ
(
z
)
−
log
G
(
1
+
z
)
{\displaystyle z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}
en considérant la définition de la fonction Gamma comme produit de Weierstrass:
1
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
k
=
1
∞
{
(
1
+
z
k
)
e
−
z
/
k
}
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\mathrm {e} ^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)\mathrm {e} ^{-z/k}\right\}}
et
γ
{\displaystyle \,\gamma }
constante d'Euler–Mascheroni .
On obtient donc
z
log
Γ
(
z
)
−
log
G
(
1
+
z
)
=
−
z
log
(
1
Γ
(
z
)
)
−
log
G
(
1
+
z
)
=
−
z
[
log
z
+
γ
z
+
∑
k
=
1
∞
{
log
(
1
+
z
k
)
−
z
k
}
]
−
[
z
2
log
2
π
−
z
2
−
z
2
2
−
z
2
γ
2
+
∑
k
=
1
∞
{
k
log
(
1
+
z
k
)
+
z
2
2
k
−
z
}
]
{\displaystyle {\begin{aligned}z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)&=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]&={}{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace \log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}\right\rbrace \right]\\[5pt]&\qquad -\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z\right\rbrace \right]\end{aligned}}}
Soit
∑
k
=
1
∞
{
(
k
+
z
)
log
(
1
+
z
k
)
−
z
2
2
k
−
z
}
=
−
z
log
z
−
z
2
log
2
π
+
z
2
+
z
2
2
−
z
2
γ
2
−
z
log
Γ
(
z
)
+
log
G
(
1
+
z
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace (k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z\right\rbrace ={-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)}
D'autre part, on prend le logarithme du produit de Weierstrass de la fonction gamma et on intègre sur l'intervalle
[
0
,
z
]
{\displaystyle \,[0,\,z]}
∫
0
z
log
Γ
(
x
)
d
x
=
−
∫
0
z
log
(
1
Γ
(
x
)
)
d
x
=
−
(
z
log
z
−
z
)
−
z
2
γ
2
−
∑
k
=
1
∞
{
(
k
+
z
)
log
(
1
+
z
k
)
−
z
2
2
k
−
z
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,\mathrm {d} x=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,\mathrm {d} x={-(z\log z-z)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace (k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z\right\rbrace \end{aligned}}}
Les deux égalités obtenues amènent :
∫
0
z
log
Γ
(
x
)
d
x
=
z
(
1
−
z
)
2
+
z
2
log
2
π
+
z
log
Γ
(
z
)
−
log
G
(
1
+
z
)
{\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,\mathrm {d} x={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}
Et puisque
G
(
1
+
z
)
=
Γ
(
z
)
G
(
z
)
{\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}
∫
0
z
log
Γ
(
x
)
d
x
=
z
(
1
−
z
)
2
+
z
2
log
2
π
−
(
1
−
z
)
log
Γ
(
z
)
−
log
G
(
z
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,\mathrm {d} x={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -(1-z)\log \Gamma (z)-\log G(z)\,.}
↑ (en) E. W. Barnes, « The theory of the G-function », Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics vol. 31, 1900 , p. 264–314 
![{\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{si }}n\in \mathbb {Z} /\mathbb {N} \\[2pt]\displaystyle \prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{si }}n=\mathbb {N} ^{*}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bc4de8da7019ed06b07763deaf4f963aa0f8b4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a14a61edb8ebfe3f2191791d862f62578d5cd53)
![{\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed371b16567eac9b2d3ea3ef14e259bffa29f88)
![{\displaystyle {\begin{aligned}z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)&=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]&={}{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace \log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}\right\rbrace \right]\\[5pt]&\qquad -\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z\right\rbrace \right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf87d8ed79b6751963b52993231d5502be6a7e92)
![{\displaystyle \,[0,\,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715011514a5e69474f60526d75d440599663c335)
