Discussion:Suite régularisante

Sourcer définition(s ?)

D'où sortent la déf de l'article et la « propriété (équivalente) » ?

• La 1^re ref invoquée, (en) Enrico GiustiEnrico Giusti, Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, 1984 (lire en ligne), p. 10-11, ne parle pas de suite régularisante mais seulement de
  • fonction régularisante (sur $\mathbb {R} ^{d}$) : une fonction $C^{\infty }$ à support compact $\rho$ d'intégrale 1 (parfois positive et symétrique), à partir de laquelle on pose $\rho _{\varepsilon }(x):=\varepsilon ^{-d}\rho (x/\varepsilon )$.
• La 2^e ref invoquée, (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, 1983 (lire en ligne), p. 14, ne définit aucune de ces deux notions mais construit directement une fonction positive régularisante au sens de Giusti.
• Gilbert Demengel et Françoise Demengel, Espaces fonctionnels, EDP Sciences, 2007 (lire en ligne), p. 31 font comme Hörmander.
• Laurent Claessens, Le Frido, vol. 3, TheBookEdition, 2016 (lire en ligne), 1227 et 1151 dit que
  • une suite régularisante (sur $\mathbb {R} ^{d}$) est une suite de fonctions mesurables positives d'intégrale 1 qui converge en moyenne vers 0 sur tout complémentaire d'un voisinage de 0 ;
  • une approximation de l'unité (sur $\mathbb {R} ^{d}$ ou (S¹)^d) est une suite bornée dans L¹ de fonctions d'intégrale 1 qui converge en moyenne vers 0 sur tout complémentaire d'un voisinage de 0.
• Pour Yves Caumel, Cours d'Analyse fonctionnelle et complexe, Cépaduès, 2009, 2^e éd. (1^re éd. 2003) (lire en ligne), p. 37, unité approchée = suite régularisante = même déf que les suites régularisantes de Claessens.
• Pour Francis Filbet, Analyse numérique, Dunod, 2013 (lire en ligne), p. 292, une suite régularisante (sur $\mathbb {R}$) est une suite de fonctions mesurables positives $\rho _{n}$ d'intégrale 1 telles que $\operatorname {supp} {(\rho _{n})}\subset [-1/n,1/n]$.
• https://books.google.fr/books?id=ARo8DQAAQBAJ&pg=PA11 et https://books.google.fr/books?id=8cTcBwAAQBAJ&pg=PA188 et https://books.google.fr/books?id=wc3BDQAAQBAJ&pg=PA501 suite de fonctions $C^{\infty }$ positives $\rho _{n}$ d'intégrale 1 telles que $\operatorname {supp} {(\rho _{n})}\subset B(0,\varepsilon _{n})$ avec $\varepsilon _{n}\to 0$.
• P. Blanchard et E. Bruening, https://books.google.fr/books?id=GQ_lBwAAQBAJ&pg=PA88 n'appellent « suites régularisantes » que les suites obtenues comme Giusti à partir d'une fonction régularisante, mais positive.
• Lang, Real and Functional Analysis, p. 227-228 prend d'abord des fonctions continues positives d'intégrale 1, remarque que la condition « $\operatorname {supp} {(\rho _{n})}\subset B(0,\varepsilon _{n})$ avec $\varepsilon _{n}\to 0$ » est plus forte que « converge en moyenne vers 0 sur tout complémentaire d'un voisinage de 0 », puis donne de « suite régularisante » la même définition restrictive que Blanchard et Bruening.

Anne, 17/2/17, 18 h 37

Ouh là, il semble que je sois le responsable de cet ajout, mais ça commence à dater, ce travail de traduction...

La seule ref que je peux apporter à cette bibliographie est mon exemplaire d'Analyse fonctionnelle de Brézis, qui donne une définition similaire à celle de Filbet sans imposer la positivité des fonctions.

Je suppose donc que j'ai repris la version (en), en privilégiant la version "vérifiable". J'ai laissé l'alternative, en me disant que l'équivalence était assez évidente (et je ne trouve pas vraiment de contre-argument). Mais je ne m'opposerai pas à une réécriture voire une suppression de cette phrase litigieuse.

Kelam (discuter) 17 février 2017 à 19:20

Ton adaptation de en:Mollifier n'est pas vraiment "vérifiable" car « suite régularisante » n'est pas défini là-bas et même leur définition de « mollifier » n'est pas conforme aux sources qu'ils invoquent.

Dans la « propriété (équivalente) » (« shrinking supports » ⇒ $\rho _{n}\to \delta$ — en un sens à préciser), il me semble que pour ⇒ il faut supposer, comme Claessens et la plupart des refs ci-dessus, que $\rho _{n}\geq 0$ (donc $\int |\rho _{n}|=1$), ou au moins que $\sup _{n}\int |\rho _{n}|<\infty$. Comment s'en sort Brézis ? Anne, 20 h 03

Mea maxima culpa, une relecture plus attentive de Brézis montre qu'il impose bien la positivité, la seule différence notable est qu'il définit la suite comme des fonctions sur $\mathbb {R} ^{N}$. Donc, je précise une bonne fois pour toutes : la définition de Brézis, c'est que $(\rho _{n})$ sont des fonctions $C^{\infty }$ à support compact, positives, d'intégrales égales à 1, de support $\operatorname {supp} {(\rho _{n})}\subset B(0,1/n)$). Pour le reste, il n'évoque que les distributions que dans quelques notes de bas de page et je crois que la fonction δ de Dirac n'est même pas défini dans l'ouvrage.

Désolé de la perte de temps. Kelam (discuter) 17 février 2017 à 20:26

Merci, voilà qui est très clair. Quant à $\rho _{n}\to \delta$, je ne sais quel sens lui donner (convergence en loi, ou au sens des distributions, ou pour la topologie vague (en)), et en:Nascent delta function me rend timorée/paresseuse. Anne, 20 h 34