Discussion:Nombre complexe/vulgarisation

Pour comprendre les nombres complexes, on peut associer les nombres aux objets géométriques. L'idée générale a été énoncée par Descartes, et a été appliquée aux complexes par Jean-Robert Argand [1].

Représentation de la droite des réels avec des exemples de constantes réelles

L'ensemble des nombre réels ℝ peut être représenté par une droite orientée et graduée. L'origine des graduations représente le zéro, et nombre réel a est alors la flèche partant de 0 et de longueur a ; elle est dirigée vers la droite sur a est positif, et vers la gauche si a est négatif. Le réel a est donc représenté par un vecteur.

L'addition de deux réels a et b consiste à enchaîner les flèches, à les mettre bout à bout ; cela correspond à l'addition de vecteurs.

Représentation géométrique de la multiplication réelle

La multiplication correspond à une homothétie :

• la multiplication de a par un nombre b positif donne une flèche de longueur a×b ; on a « dilaté » le vecteur représentant a d'un facteur b ;
• la multiplication par -1 consiste à faire faire un demi-tour à la flèche ;
• la multiplication par un nombre négatif quelconque b consiste donc à dilater la flèche a d'un facteur |b| et à lui faire faire un demi-tour.

Le carré d'un nombre a, a², s'obtient en multipliant deux fois 1 par a. Le carré de -1 consiste donc à faire faire deux demi-tours à la flèche 1, c'est-à-dire un tour complet ; on obtient 1 :

(-1)² = 1.

De manière générale, le carré d'un nombre est toujours positif.

Construction de i comme la moitié de la multiplication par -1

Rechercher la racine carrée d'un nombre a, √a, consiste donc à chercher l'opération qui, appliquée deux fois à la flèche 1, donne le nombre a :

$x={\sqrt {a}}$

signifie

$1\times x\times x=a$.

Si l'on veut définir la racine carrée de -1, notée i, il suffit donc de trouver la moitié de l'opération qui transforme 1 en -1 :

$1\times i\times i=-1$.

L'opération qui transforme 1 en -1 est le demi-tour, la moitié de cette opération est donc le quart de tour. On trouve donc que i est une flèche qui est perpendiculaire à la droite des réels ; ce n'est donc pas un nombre réel.