Discussion:Maille (cristallographie)

Points de détails

Mes souvenirs de cristallo sont un peu loins, alors je laisse le soin à qqun d'autre de modifier l'article. Les points qui me posent questions sont les suivants.

1. Dans l'introduction, on dit que « la maille est un motif géométrique de nœuds », puis que le motif peut être constitué d'un ou plusieurs atomes. Je crois que le concept de nœud est différent de celui de motif et qu'un même réseau de Bravais, constitué de nœuds donne lieu à différents cristaux en fonction du motif utilisé. Actuellement, l'article reste flou sur le réseau auquel s'applique le concept de maille : réseau de Bravais abstrait ou réseau cristallin réel (je vote pour "les deux").
2. « Une maille primitive contient un nœud du réseau à chaque sommet, mais aucun nœud à l'intérieur de son volume ou de l'une de ses faces. » Est-ce vrai ? Ne vaudrait-il mieux pas remplacer par « Une maille primitive contient un nœud du réseau en tout, les nœuds situés sur les bords de la maille comptant pour 1/N, N étant le nombre de mailles qui les contiennent. »

--MPerrin (d) 1 mars 2008 à 04:01 (CET)

1. Le terme « motif » à la rigueur indique seulement la répétition du contenu de la maille selon la périodicité du réseau. C'est donc bien le contenu atomique. Le terme « motif géométrique » est un peu ambigu. Ce que tu appelle le « réseau cristallin réel » n’existe pas, il s’appelle « motif cristallin » (« crystal pattern » en anglais). Si on tient compte des défauts dans ce motif et de son extension finie (jusqu’à la surface du cristal) on parle de structure cristalline. Le réseau étant un concept abstrait, son utilisation pour parler de la structure atomique corresponde à un abus de langage.
2. La maille de Wigner-Seitz n'est pas utilisé en cristallographie pour décrire les réseaux de Bravais. Les mailles que l'on utilise (voir les Tables internationales de cristallographie) ont toujours des nœuds aux sommets. Donc, dire qu'une maille primitive ne contient que des nœuds à ses sommets et tout à fait correct dans ce contexte.

--Mahlerite | 語 1 mars 2008 à 09:15 (CET)

Salut Mahlerite. Effectivement, le réseau cristallin réel n'existe pas ; ce que je voulais dire correspond plutôt à un cristal idéal infini et sans défaut (et à 0 K). Si je suis à la lettre ta réponse au 1, aucune maille ne décrit des réseaux de Bravais, puisque ceux-ci sont constitués de nœuds, alors que celle là est constituée d'atomes. Est-ce cela ? Plusieurs articles sont en contradiction avec ton interprétation de ce qu'est une maille élémentaire. Peut-être as-tu raison, mais dans ce cas il faudrait les modifier. Il s'agit de l'article maille de Wigner-Seitz, qui la présente comme maille élémentaire et de l'article zone de Brillouin, qui la « définit de manière unique comme la maille primitive du domaine fréquentiel ». Note que le problème disparaît si l'on considère la maille élémentaire de manière mathématique comme un domaine fondamental (je viens de créer cette ébauche, mieux vaut se reporter à l'article anglais). Dans ce cas, par exemple pour un réseau unidimensionnel, la maille élémentaire peut être définie comme [0 a[, comme ]0 a], [-a/2 a/2[, etc., mais contient toujours en tout et pour tout un seul nœud. --MPerrin (d) 1 mars 2008 à 18:42 (CET)

Bonjour MPerrin,

Non, la maille est l'unité de répétition translatoire du réseau. Les deux (maille et réseau) existent comme objets mathématiques. Les atomes sont le contenu de la maille, la maille est le conteneur. Si on répète la maille par translation, on obtient le réseau. Si on répète le contenu de la maille par translation, on obtient le motif cristallin. Si on prend en compte les défauts qui existent dans le cristal réel, on obtient la structure cristalline. Je viens de modifier l’introduction, j’espère que maintenant elle est plus claire.

Le domaine fondamental ne correspond pas à la maille, mais à l’unité asymétrique. Certes, dans le groupe d’espace P1 les deux coïncident, mais c’est un cas limite.... --Mahlerite | 語 1 mars 2008 à 19:27 (CET)

Ah, d'accord, je comprends mieux tes définitions, maintenant. Et l'introduction est effectivement plus claire. Mais ces définitions ne correspondent pas à ce que j'ai appris (ou du moins à ce que j'ai compris ) ! Je vais essayer de me replonger dans tout cela prochainement. Est-ce que tu aurais un ouvrage de référence à me conseiller où tout cela serait défini clairement ? Voici les différences entre nos définitions respectives.

1. Ce que tu appelles motif correspond bien à ce que j'appelais cristal idéal infini et sans défaut.
2. Ce que tu appelles contenu de la maille correspond à ce que j'appelle motif. Pour moi, le motif est similaire au motif d'un papier peint, c'est-à-dire l'unité élémentaire qui se répète. Il est constitué d'atome(s), comme c'est dit dans structure cristalline#Réseau cristallin
3. Comme toi, j'appelle unité asymétrique un domaine fondamental du groupe de symétrie du réseau de Bravais.
4. Ce que j'appelle maille correspond également à un domaine fondamental, mais le groupe à considérer est un sous-groupe des translations laissant le réseau de Bravais invariant – autrement dit un sous-groupe du réseau de Bravais considéré comme un groupe pour l'addition de vecteurs. Si l'on considère le réseau de Bravais dans son ensemble, on obtient la maille primitive du réseau. Ça correspond à ce qui est écrit (à deux endroits) dans en:Primitive cell. Si l'on considère un sous-groupe du réseau de Bravais, par exemple seulement les translations selon les axes de symétrie du cristal, on obtient d'autres mailles, par exemple la maille conventionnelle. Vue de cette manière très mathématique, la maille est soit un sous-ensemble du réseau de Bravais (un seul nœud dans le cas de la maille primitive), soit un sous-ensemble de Rⁿ, selon l'espace sur lequel agit le groupe. De la même manière que Rⁿ représente l'espace physique, la maille représente une région de l'espace physique. En ce sens, nous sommes d'accord sur la notion de maille comme un contenant.
5. Je reviens sur mon problème 2 de tout à l'heure. Voici un extrait de la version actuelle de l'article :

« Une maille primitive contient un nœud du réseau à chaque sommet, mais aucun nœud à l'intérieur de son volume ou de l'une de ses faces.

La Maille de Wigner-Seitz est un type particulier de maille primitive qui est construite comme la région de l'espace la plus proche d'un nœud du réseau que de n'importe quel autre nœud. Elle contient donc un nœud au centre mais aucun nœud aux sommets. »

Personnellement, je vois une contradiction entre les éléments que j'ai mis en gras, à moins que "un type particulier de maille primitive" signifie...une maille qui n'est pas primitive ! Qu'est-ce que tu en penses ?

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Si je résume, un désaccord important concerne la notion de motif (1 et 2 ci-dessus), et un autre moins important concerne la notion de maille comme "région de l'espace physique" (pour toi ?), et "à la fois région de l'espace physique et ensemble de nœuds du réseau de Bravais" pour moi. C'est peut-être plus un désaccord philosophique entre un élément de réalité physique et sa représentation mathématique, et on peut peut-être dire qu'une maille est une région de l'espace qui contient des atomes et qui est représentée comme un ensemble de nœuds du réseau de Bravais. J'espère qu'on va arriver à se mettre d'accord sans en venir aux mains ! Cordialement. --MPerrin (d) 2 mars 2008 à 04:13 (CET)

Bonjour MPerrin,

je n'ai l'habitude de venir aux mains....

Tout d'abord il ne s'agit pas de mes définitions, mais de celles de l'Union internationale de cristallographie. Les standards sont définis dans les Tables internationales de cristallographie. Sur le sujet de cette discussion, tu peux consulter notamment le Volume A.

Le terme motif est bien enraciné dans la littérature francophone. Tu peux consulter les Leçons de cristallographie de Georges Friedel. En anglais ce terme se traduit en crystal pattern, dont tu trouve la définition dans les volumes A et A1 des Tables internationales de cristallographie. Le fait d'utiliser "réseau" dans les deux sens (notion mathématique et comme synonyme de motif) est malheureux et c'est la faute de ceux qui enseignent ou pratiquent la cristallographie sans vraiment la comprendre. En anglais il y a le même type de problème, car certains auteurs utilisent « lattice » pour tout et n'importe quoi. J'ai descendu un nombre d'articles que j'avais à arbitrer justement sur ce point (généralement, ceux qui font cette erreur en font aussi d'autres bien plus graves).

Si tu considères «  un sous-groupe des translations laissant le réseau de Bravais invariant », comme tu dit, tu obtient un « sous-réseau » (et non un « super-réseau », autre erreur très répandue) et une maille multiple. La maille primitive miroite toute symétrie translationnelle du réseau, même si les paramètres de la maille ne montre pas forcement cette symétrie. Quand c'est le cas, la maille primitive coïncide avec la maille conventionnelle et celle ci miroite encore toute, symétrie translationnelle et pas un sous-groupe, par définition! Quand tu considères un sous-groupe de translation tu as une autre maille, dans laquelle tu négliges une partie des nœuds du réseau. Cette maille plus grande est utile dans l'étude des transitions de phase, des structures dérivatives et des macles.

Ton problème No. 2. La maille de Wigner-Seitz n'est pas utilisée directement en cristallographie : nous prenons toujours une maille ayant des nœuds à leurs sommets. Je peux te dire que ma collègue Marjorie Senechal est pour l'utilisation de cette maille (plus précisément, les polyèdres de Voronoï) au lieu de la maille conventionnelle : ceux-ci auraient des avantages dans les espace à dimensions supérieurs, où la définition de conventionnelle est plus problématique (jusqu'en R³ c'est beaucoup plus simple la maille conventionnelle : je ne me vois vraiment pas introduire la cristallographie à mes étudiants par le moyen des polyèdres de Voronoï!). Mais pour l'instant il n'y a même pas une proposition formelle au sein de l'Union et franchement je doute fortement qu'une telle proposition puisse aboutir. --Mahlerite | 語 2 mars 2008 à 09:50 (CET)

Merci pour les références. J'ai entendu parler de ces leçons de cristallographie que j'aimerais bien vérifier, mais on ne les a pas à l'Université de Montréal, où je travaille (ni aucun ouvrage de Friedel). On a les tables de cristallographie, apparemment, et je vais vérifier dans la semaine. Je vais tenter de trouver des sources en français également, car il est possible que "motif cristallin" ne soit pas un bon équivalent de "cristal pattern" dans les faits. Si tu as raison, c'est une erreur courante et il faudrait ÀMHA insister dessus dans l'article.

Je suis OK avec toi pour les définitions de sous-réseau et super réseau (qui désigne en physique des semi-conducteurs une hétérostructure obtenue en alternant deux semi-conducteurs de composition chimique différente). Quand je parlais de sous-groupe, je considérais G comme un sous-groupe de lui-même, ce qui correspond bien à la définition de sous-groupe (voir ici par exemple : par définition, l'inclusion n'est pas nécessairement stricte). Ma définition de la maille comme domaine fondamental me semble donc toujours correcte.

La maille de Wigner-Seitz n'est pas utilisée en cristallographie... et la notion de zone de Brillouin ? Est-ce qu'elle ne correspond pas à une maille primitive du réseau réciproque ? Quid de la contradiction que j'ai relevée ? L'un de mes meilleurs amis a fait sa thèse sur les polytopes, et c'est vrai que ça fait des formes difficiles à voir :). Il me semble que c'est plus facile d'utiliser la notion de maille primitive si l'on reste agnostique sur le fait que le(s) nœud(s) sont à l'intérieur ou sur les sommets : la maille de Wigner-Seitz et la première zone de Brillouin sont des mailles primitives. --MPerrin (d) 2 mars 2008 à 17:07 (CET)

Bon, tu peut croire ce que tu veux, mais il existe des standard internationaux en cristallographie comme en chimie, en physique etc., qu'il faut simplement respecter. Tu ne peux pas donner ta définition, parce qu'il existe une définition officielle. Personne ne met en discussion les règles de nomenclature de l'IUPAC, n'est ce pas? Alors, pourquoi voulez-vous contester les règles de nomenclature de l'IUCr? Je parle au pluriel parce que j'ai déjà eu des longues discussions fatigantes avec d'autres sur des questions de nomenclature. Allez dire aux chimistes que dans votre définition les radicaux acides ont priorité moindre que les halogènes. L'interlocuteur va rire. Pensez-vous que l'IUCr a moins d'autorité dans son domaine que l'IUPAC en chimie? Si l'article n'est pas clair, essayons de l'améliorer. Mais STP pas de définitions personnelles ou prises du bouquin de Monsieur tel. Il existe des standard internationaux et une commission de nomenclature (présidé par un collègue français, par ailleurs), donc ce n'est pas question de mettre en discussion les définitions. --Mahlerite | 語 2 mars 2008 à 17:44 (CET)

Définitions de l'IUCr

Voici les définitions données par l'IUCr dans International tables for crystallography vol. A, éd. 1984 (j'ai pas trouvé plus récent). J'espère que ça nous permettra d'y voir plus clair dans la discussion ci-dessus.

Crystal structure and crystal pattern

« Crystals are finite real objects in physical space which may be idealized by infinite three-dimensional periodic “crystal structures” in point space. Three dimensional periodicity means that there are translations among the symmetry operations of the object with the translation vectors spanning a three-dimensional space. Extending this concept of crystal structure to more general periodic objects and to n-dimensional space, one obtains the following definition:
Definition: An object in n-dimensional point space Eⁿ is called an n-dimensional crystallographic pattern or, for short, crystal pattern if among its symmetry operations
(i) there are n translations, the translation vectors t₁, ... , t_n of which are linearly independent,
(ii) all translation vectors, except the zero vector o, have a length of at least d > 0. »

— Theo Hahn, ed., Tables internationales de cristallographie section 8.1.3 « Crystal patterns, vector lattices, and point lattices »

Unit cell

« Definition: If a₁, ... , a_n is a crystallographic basis of a vector lattice L, the set of all vectors x₁a₁ + ... + x_na_n with 0 ≤ x_i < 1 is called a unit cell of the vector lattice. »

— op. cit. (une définition analogue est donnée pour le terme unit cell of the crystal pattern)

Voilà. Je pense que ce chapitre est celui dont tu voulais parler tout à l'heure, Mahlerite, n'est-ce pas ? Note: tu es probablement mieux placé que moi pour juger du rôle de standardisation de l'IUCr et son acceptation dans le monde universitaire. Le fait est que bien que je travaille en physique des solides, je connais l'IUPAC depuis ma prépa, mais l'IUCr depuis ~3 mois à peine (ce qui ne veut pas dire grand chose). Ces définitions nous disent :

1. la structure cristalline est une idéalisation, étant infinie et sans défauts ;
2. le motif cristallin est infini : c'est une généralisation de la structure cristalline au cas où l'objet répété est quelconque – pas seulement des atomes –, et dans un espace de dimension n ;
3. la maille de Wigner-Seitz n'est pas une maille, pas plus que la première zone de Brillouin (par conséquent).

J'avoue que je suis surpris. Peut-être ne faut-il pas interpréter ces définitions de manière stricte ; peut-être le but des auteurs était d'exposer leurs idées de manière rigoureuse et cohérente au sein de ce chapitre plutôt que d'effectuer une standardisation. Autrement, je me pose deux questions. Les termes sont-ils utilisés sous cette acception au sein de la communauté francophone de cristallographie ? Peut-être les profs qui me l'ont enseigné étaient les seuls à utiliser des définitions différentes... Et comment corriger les articles ? En effet, si ces sens ne sont pas ceux utilisés couramment dans les ouvrages et dans les cours (des sources prouvant le contraire seraient bienvenues), il est nécessaire d'expliquer les deux acceptions : le standard et le de facto. Ça permettrait aux gens comme moi de savoir qu'il y a un standard avant de l'enseigner à des étudiants ! Et il faudrait corriger plusieurs articles (dont l'introduction de celui-ci, sur la structure cristalline). --MPerrin (d) 6 mars 2008 à 05:22 (CET)

Bonjour MPerrin,

désolé pour la réponse tardive, je suis un peu débordé dans cette période. J'avais commencé écrire une réponse où je citais une défintion encore plus générale, prise du volume A1, mais je n'arrive pas faire marcher le code <math> (il me donne toujours erreur et je ne comprends pas pourquoi). De toute façon, le défintions dans les Tables Internationales sont le standard. Une communauté (francophone, germanophone, quelqconque) doit suivre les standards. Je repète, personne en chimie ne songerait d'aller contre les standards de l'IUPAC. Il n'y aucune raison pour qu'en cristallographie quelqu'un s'arroge le droit d'aller contre les standards de l'IUCr.

Je reviens sur le sujet dès que j'ai un peu plus de temps. --Mahlerite | 語 5 avril 2008 à 19:38 (CEST)