Discussion:Logarithme népérien

Je n'aime pas cette histoire de "formule la plus remarquable du monde":

• c'est complètement non-NPOV;
• le titre de la page n'est pas du tout explicite sur son contenu!

Snark 10:10 mar 25, 2003 (CET)

Oui mais le problème, c'est que cette page a une correspondance en enpagnol et que si on l'appelle identité d'Euler par exemple, elle va être liée à des pages ayant un titre différent. Sinon moi ça ne dérrange pas de changer.

COLETTE 12:40 mar 25, 2003 (CET)

Comme ça c'est mieux... c'est toujours pas très NPOV (personnellement, je trouve qu'il y a des formules beaucoup plus belles et moins triviales -- je pense à la formule des résidus, par exemple).

Merci :-)

Snark 20:41 mar 26, 2003 (CET)

question

Comment on pourait définir le logarithe d'un nombre complexe

Par exemple, comme dans l'article que tu as sous les yeux ;-) (il faut lire !).

En gros, c'est comme pour le logarithme réel : en tant que réciproque de l'exponentielle. Le problème est que pour un nombre complexe non nul a donné, si b est tel que e^b = a, alors pour tout entier k, b_k = b + 2ikπ vérifie e^b_k = a : le logarithme est défini modulo 2iπ, ce qui fait que la fonction logarithme est une relation multivoque (bref, ce n'est pas une fonction au sens moderne du terme).

Ainsi, on est obligé de s'intéresser à certaines restrictions univoques (un seul résultat) de cette relation. Par exemple, dire que le logarithme de a est l'unique nombre b tel que e^b = a et -π < Im(b) ≤ +π;. Évidemment ça pose des problèmes de continuité au voisinage de la demi-droite des réels négatifs, problèmes que l'on peut déplacer en choisissant une autre restriction, mais pas supprimer.--Ąļḋøø 8 nov 2004 à 17:35 (CET)

Homonymie avec la commande ln d'unix

Je ne sais pas comment traiter cette homonymie. Je laisse ceux qui savent le faire en prendre soin.

La page ln (unix) existe.

C'est fait. Cependant, je ne suis pas convaincu que la commande unix mérite une page à elle seule. Il existe déjà une page résumant l'utilité des principales commandes du shell. Pourquoi ne pas plutôt reporter le contenu de ln (unix) vers celle-ci ? --Aldoo / ✉ 29 jan 2005 à 12:07 (CET)

Proposition de modification

Je compte modifier le plan de cet article pour privilégier la définition du logarithme néperien comme la primitive de la fonction 1/x qui s'annule en 1. Cette définition permet de rendre le logarithme népérien indépendant du nombre e et indépendant de la fonction exponentielle. Elle n'empêche pas de conserver le lien avec la reciproque de exp et la propriété algébrique des logarithmes qui deviennent des conséquences de la définition et elle me parait plus claire que la définition actuelle

"En des termes simples, le logarithme naturel est une fonction, qui est l'exposant d'une puissance de e, et apparaît fréquemment dans les processus naturels (ce qui explique pourquoi on l'appelle logarithme naturel). Cette fonction rend possible l'étude de phénomènes qui évoluent de façon exponentielle."

Je compte développer davantage l'inventaire des propriétés de la fonction ln, parler de la dérivée logarithmique et consacrer un paragraphe au logarithme complexe (une approche historique et les définitions). Qu'en pensez-vous ? HB 1 mars 2006 à 11:42 (CET)

Refonte effectuée. Les diverses propriétés ont été reprises (sauf l'affirmation fausse de Napier inventeur des logarithme népérien et les considérations fausses sur les notations). Les considérations sur le logarithme complexe ont été déplacées dans l'article adhoc. Si quelqu'un peut vérifier que la refonte n'a pas fait disparaitre une information importante... HB 18 mars 2006 à 10:04 (CET)

Napier/Neper

Mon livre de mathématiques ( « Déclic » des éditions Hachette Éducation, édition de mars 2006 ) m'indique que c'est Jean Neper qui aurais « inventé » le logarithme népérien ( d'où le nom, évidemment ). S'en suit une citation de cette personne, expliquant l'utilité de la fonction ln, extraite de « La merveilleuse règle des logarithmes », apparemment parue en 1614.

Que croire ? Neper ou Napier ?

les deux ;-) : L'orthographe des noms est variables : John Napier francisé en Jean Neper. Cependant, s'il est sûr que le monsieur ait édité un livre sur les logarithmes, il ne s'agissait pas de la "fonction" logarithme néperien mais de table de correspondance faisant intervenir le principe "transformation d'un produit en somme" (propriété de tous les logarithmes) HB 20 décembre 2006 à 09:55 (CET)

Merci bien ;) J'avoue que me m'intéresse plus à l'histoire desmaths qu'aux mathématiques elles-même !!!

Demande de références

Comme demandé par le bandeau, j'ai fourni 5 références pour les quelques phrases concernant l'histoire du logarithme népérien, histoire qui n'est en fait qu'un fragment de l'histoire des logarithmes. Je ne vois pas comment mettre des références aux formules que l'on trouve dans tout bouquin de math de TS ou tout formulaire du supérieur. A moins de précisions sur les références attendues, je supprimerai le bandeau d'ici quelques jours. HB (d) 19 février 2009 à 17:03 (CET)

En fait je pensais repasser ce week-end pour préciser Mais tu as été plus rapide. En tous cas merci pour les refs, c'est la première fois que je vois quelqu'un les ajouter si vite après une demande

Quel bouquin précisément ? Il serait intéressant de le mentionner (pour une référence générale je ne pense pas qu'il y ait besoin d'avoir des notes avec <ref></ref>).

En ajoutant le bandeau, je pensais plutôt à la partie "Développement en série" dont je n'avais jamais vu les formules (mais ce n'est pas comme si j'avais fait des études très poussées de maths). Bien sûr s'il est inclus dans la référence générale c'est OK !

Calimo (d) 19 février 2009 à 18:11 (CET)

le problème est que ... j'ai au moins 10 bouquins de TS qui racontent tous la même chose, Je ne vois pas pourquoi je privilégierai une édition plutôt qu'une autre. Pour les développement en séries, c'est le même problème : ces formules sont dans tous les formulaires du supérieur. Je peux mettre le Gieck en référence si tu veux (il est un peu plus généraliste qu'un formulaire du supérieur) mais même comme ça, ce serait privilégier une édition au détriment d'une autre. Ce n'est pas comme si on attribuait une pensée à une auteur, dans ce cas la référence s'impose. Là, il s'agit là de recenser des connaissances également partagée par une communauté de personnes faisant des mathématiques.. HB (d) 19 février 2009 à 18:30 (CET)

Effectivement, c'est que ces équations sont de connaissance générale et sont suffisemment communes. Je retire le bandeau ! Merci, Calimo (d) 20 février 2009 à 08:42 (CET)

démonstration sur la dérivée de ln

J'ai supprimé ce texte

On peut aussi montrer que la fonction inverse est la dérivée du logarithme naturel en considérant celle-ci comme la réciproque de la fonction exponentielle.

On considère la fonction $f(x)=e^{\ln(x)}~$

• D'une part, $(e^{\ln(x)})'=(\ln x)'\cdot e^{\ln(x)}(car(e^{u})'=u'\cdot e^{u}~)$
  

donc $(e^{\ln(x)})'=(\ln x)'\cdot x~$

• D'autre part, $(e^{\ln(x)})'=(x)'=1~$
• Donc $1=(\ln x)'\cdot x~$
  

D'où $(\ln x)'={\frac {1}{x}}~$

qui démontre que la fonction ln a pour dérivée la fonction inverse pour deux raisons :

1. La première est la place où elle figurait (dans la section où ln est définie comme une primitive de 1/x) car elle ne correspond pas à la définition choisie.
2. La seconde est que cette démonstration de prouve pas que la fonction ln a pour dérivée la fonction inverse. Elle prouve que si la fonction ln est dérivable alors sa dérivée ne peut être que la fonction inverse.

Elle pourrait être remise, à condition d'être complété, dans la section idoine (fonction ln comme réciproque de la fonction exponentielle). HB (d) 20 mars 2009 à 17:47 (CET)

Je ne suis pas très doué pour les longs débats, mais ce qui compte c'est que cette demo soit présente, elle est connue et importante ! Mettez-la où bon vous semble. Darkbowser (d) 20 mars 2009 à 17:59 (CET)

En quoi est-elle si importante? Pourquoi as-tu rétabli ta version seulement trois minutes après que HB ait supprimé cette démonstration. Si un utilisateur annule une de tes modifications, prends le temps de comprendre pourquoi. Ici, il y a deux bonnes raisons. Jeremy55 (d) 21 mars 2009 à 08:39 (CET)

je suis très gênée Darkbowser par ton insistance à mettre cette démonstration après ma suppression et après celle d'El Caro. Tu dis que la démonstration est « connue et importante ! ». Or sur 8 livres de TS consultés, elle ne figure que dans 3 d'entre eux (Pixel, Fratale, Terracher), les autres passent par le taux d'accroissement (3) ou définissent le ln comme primitive de la fonction inverse (2). Ceci porte un coup à la « légitimité » de cette démonstration. Parmi les livres qui la présentent, deux d'entre eux admettent la dérivabilité, ce que tu ne fais pas et ce qui est très important. Or la démonstration classique de la dérivabilité de la réciproque fournit la dérivabilité et l'expression de la dérivée et rend donc caduque le reste du raisonnement (si on sait que la fonction est dérivable et qu'on connait la forme de la dérivée, il est inutile de la chercher par un autre moyen). Je ne me lancerai pas dans un guerre d'édition pour si peu. Je me contenterai de corriger ta démonstration en parlant de l'existence de la dérivée mais si une troisième personne souhaite la faire disparaitre je la soutiendrai. HB (d) 28 mars 2009 à 10:15 (CET)

Revenons à la question essentielle. Cette démonstration est-elle utile aux lecteurs avides d'information sur la fonction ? Je pense que oui. Darkbowser (d) 28 mars 2009 à 12:54 (CET)

J'ai remanié cette preuve en tenant compte des avis ci-dessus (et supprimé une preuve redondante qui figurait dans la section "Propriétés immédiates") mais je me demande si, vu le choix fait dans cet article-ci (déf de ln comme la primitive de 1/x qui s'annule en 1), il ne serait pas mieux de dire : on démontre d'abord que ln est une bijection dérivable, puis on en déduit que sa bij réciproque est dérivable et égale à sa dérivée (et vaut 1 en 0), ce qui fournit une définition possible de exp. Anne (d) 21 mars 2012 à 10:44 (CET)

Tu voudrais mettre cela dans quelle section ? Avec le recul, je trouve que c'est un exercice difficile de présenter de manière cohérente la fonction ln ou la fonction exponentielle sans privilégier un point d'entrée plutôt qu'un autre (la fameuse neutralité de point de vue). Mon idée initiale était de dire " il existe plusieurs définitions équivalentes de la fonction ln". De les présenter toutes et de montrer comment de l'une on déduit les autres. A la relecture quelques années plus tard, je ne suis pas très contente du résultat donc si tu as des idées pertinentes soit pour mieux réaliser mon objectif, soit pour privilégier une autre présentation, n'hésite pas. HB (d) 21 mars 2012 à 13:55 (CET)

néperien

Je m'apprêtais à rectifier l'intitulé de v:Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien sur Wikiversité (dans le reste de cette leçon, et sur le CNRTL, c'est népérien), mais je vois que divers ouvrages ne mettent pas d'accent sur le second e. Cette variante est-elle licite ? Anne 14/5/17 18 h 46

Appellation logarithme naturel par Mercator ? Est-ce faux ?

Il est écrit que "L’appellation logarithme naturel apparaît pour la première fois en 1668, dans Logarithmotechnia de Nicolaus Mercator sur la série qui porte son nom". Or, on peut lire cet ouvrage sur Google Books : https://books.google.fr/books?id=7jMVAAAAQAAJ Pages 31 à 34, on trouve bien l'idée de la série de Mercator, mais aucune mention de l'expression "logarithme NATUREL"... J'ai fouillé tout le document, je n'ai rien trouvé qui ressemble à cette expression. D'après l'article Wikipédia, c'est un article situé sur euler.ac-versailles.fr ("Logarithme et quadrature de l'hyperbole") qui indique cela. Or le lien ne fonctionne plus, ni l'archive du lien... J'ai retrouvé l'emplacement, un fichier .doc : https://euler.ac-versailles.fr/rubrique188.html . Mais l'article date de 2001 et il renvoie vers une erreur 502.

Alors, est-ce une fausse info relayée depuis par tout le monde ? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Tertiath (discuter), le 30 juillet 2020 à 15:15 (CEST)

Par ailleurs, la seule mention que j'ai trouvée de cette appellation, c'est en 1748 dans le Introductio in analysin infinitorum d'Euler (en ligne, point 122: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3884z/f107.image). Euler dit clairement "les logarithmes calculés sur cette base, s'appellent Logarithmes naturels ou hyperboliques, parce qu'il peuvent représenter la quadrature de l'hyperbole". Quelqu'un avant Euler l'avait-il écrit ? (donc entre 1668 et 1748 !)--Tertiath (discuter) 30 juillet 2020 à 16:23 (CEST)

À mon sens, on n'a eu besoin de qualifier de "naturel" le logarithme que lorsque ne pas le qualifier ainsi créait une ambiguïté avec le logarithme décimal. Mais il faudrait vérifier si cette hypothèse tient au vu de l'histoire... Amicalement, Bernard de Go Mars (discuter) 25 janvier 2023 à 12:28 (CET)

Qu'est-ce que le Log d'un log ?

Dans mes lectures sur la quantification de la friction due à la Couche Limite, j'ai été conduit à écrire, pour expliciter l'équation d'une régression:
Log(Cf) = -1,07 Ln[Log(Re)] - 0,6235
Est-ce que ce Ln(Log) a des propriétés particulières ? Amicalement, Bernard de Go Mars (discuter) 25 janvier 2023 à 12:33 (CET)

Logarithme népérien vs logarithme naturel

Je trouve dommage de voir le titre de cet article clignoter avant toute discussion. Certes, Robert FERREOL aurait peut-être du annoncer son intention de renommage. Mais on peut aussi suivre WP:BOLD et, le nouveau titre n'étant pas aberrant, on aurait tout aussi bien pu le maintenir en attendant le résultat d'une discussion à entamer ici. Cela ne nécessitait pas,Sapphorain, amha, ce revert sec.

Pour ma part, je n'avais jamais rencontré le terme de logarithme naturel avant de venir sur Wikipedia et il m'a fallu une recherche pour me convaincre que le terme n'était pas aberrant mais comme le dit Saphorain, la France n'est qu'une partie du monde francophone. Pour mesurer la visibilité de chaque terme dans l'ensemble du monde francophone, il serait peut-être utile de faire appel à l'AI. J'ai tenté googlefight mais n'ai pas réussi à le faire marcher. Une recherche google annonce 108000 résultats pour "logarithme népérien" contre 66400 pour "logarithme naturel". HB (discuter) 19 septembre 2023 à 07:46 (CEST)

Désolé n'avoir pas prévenu.. Cela m'irritait depuis un certain temps et j'ai craqué quand j'ai regardé le dictionnaire de Le Lionnais qui n'aborde même pas le mot "naturel". Dans l'encyclopaedia universalis, c'est indiqué "népérien ou naturel", idem dans le dictionnaire de mathématiques de Warusfel. avec de plus l'argument de Google Il me semble que c'est cet ordre qui doit être donné en français., c'est ce que j'avais fait.

Je constate d'ailleurs que les les rédacteurs ont fait des efforts surhumains pour dire naturel au lieu de népérien, mais que plusieurs népériens sont restés : voir Logarithme naturel#La fonction logarithme naturel comme fonction de la variable complexe. Je n'ose pas dire que le naturel est revenu au galop ! Robert FERREOL (discuter) 19 septembre 2023 à 08:30 (CEST)

J'ai recherché dans les programmes scolaires des pays francophones :

suisse : https://www.nordangliaeducation.com/-/media/college-du-leman/,-w-,parent-essentials/back-to-school/hs-fr/terminale-maturite-bilingue.pdf népérien

belge : On précisera que la fonction logarithme de base e s’appelle la fonction logarithme népérien.

Québécois : Le logarithme népérien (ou dit « naturel ») est le logarithme dont la base est e, nombre irrationnel

dont la valeur est  2,718 28… Par convention, on le note « ln »

Et dans les anciennes colonies françaises, c'est uniquement népérien.

Je pense que l'appellation "naturel" déroute actuellement les scolaires francophones qui consultent wikipedia. Robert FERREOL (discuter) 19 septembre 2023 à 09:42 (CEST)

Comme HB, j'ai toujours entendu "népérien" depuis le lycée, même si "naturel" se comprend de soi même. J'ai vérifié que c'était toujours le cas dans les programmes actuels en France (parfois ça évolue) : https://eduscol.education.fr/document/24568/download. Je suis pour le renommage, d'autant avec les éléments apportés par Robert Ferreol (maintenant un mot en pdd avant de renommer aurait été mieux, et, bien-sûr, avant de reverter aussi, même avis que HB). Proz (discuter) 19 septembre 2023 à 11:10 (CEST)

Personnellement, j'ai toujours entendu depuis le collège (en Suisse) "logarithme naturel"(en passant, le Collège du Léman est une école privée genevoise, qui n'est pas particulièrement représentative de l'enseignement en suisse en général, lequel est plutôt public). Je n'ai pris connaissance du qualificatif "népérien" qu'à l'université. Je ne suis pas favorable au renommage. --Sapphorain (discuter) 19 septembre 2023 à 13:04 (CEST)

En Belgique, logarithme népérien me semble plus utilisé, même si les deux sont utilisés que ce soit à l'université ou au lycée. --Huguespotter (discuter) 19 septembre 2023 à 14:46 (CEST)

Personnellement, au cours de mes études, j'ai toujours entendu "népérien" et jamais "naturel", et cette deuxième appellation est assez récente à mes oreilles. Après, comme la définition est assez claire, je ne pense pas que le renommage soit vraiment pénalisant. Kelam (discuter) 19 septembre 2023 à 17:06 (CEST)

Pour couper la poire en deux peut on renommer en "logarithme népérien (ou naturel)", avec népérien en premier tout de même, puisque majoritaire ? Robert FERREOL (discuter) 19 septembre 2023 à 20:15 (CEST)

Il y a de toute façon un lien avec l'autre dénomination, donc ça n'est pas nécessaire, ni une bonne idée : titre trop compliqué et pas dans les usages wikipédiques. Proz (discuter) 19 septembre 2023 à 20:43 (CEST)

J'ai créé par traduction la page logarithme népérien de deux en mettant bien, pour les Suisses, une redirection depuis logarithme naturel de deux et écrivant "népérien (ou naturel)" dans le texte.

Anecdote : la première fois que j'ai rencontré "logarithme naturel", je me suis dit que c'était le décimal, car la base 10 est naturelle chez les humains qui ont dix doigts. Il faut en effet entendre "naturel" plutôt comme "mathématiquement naturel" ... Robert FERREOL (discuter) 22 septembre 2023 à 07:38 (CEST)

Le logarithme décimal n'a rien de naturel mathématiquement. Je remarque par ailleurs en passant qu'aucun des 59 interwikis n'a utilisé le nom de John Napier dans le titre de l'article correspondant à "logarithme naturel". Et il semble bien que le qualificatif utilisé est chaque fois la traduction de "naturel". --Sapphorain (discuter) 22 septembre 2023 à 09:33 (CEST)

Ce qui compte est le titre le moins étonnant en français donc le fait que dans les autres langues, ce soit naturel qui est utilisé ne nous oblige en rien à faire de même si en français népérien est plus utilisé. Huguespotter (discuter) 22 septembre 2023 à 14:29 (CEST)

Et surtout, dommage de perdre la blague qui m'a été posée de nombreuses fois par mes élèves :

Logarithme et Exponentielle vont au restaurant. Qui paie l'addition ?

Exponentielle, car Logarithme ne .... Robert FERREOL (discuter) 23 septembre 2023 à 07:32 (CEST)

La dernière modification , qui a été annulée, par un rédacteur qui dit "il peut porter à confusion de le nommer logarithme naturel" donne de l'eau au moulin du fait qu'il faut renommer cette page, me semble t il. (je pense que la confusion dont parle ce rédacteur est la confusion avec le logarithme décimal)

Et dans les pages où l'expression "logarithme népérien" apparait, il faudrait bien indiquer "logarithme népérien (ou naturel)". Robert FERREOL (discuter) 27 septembre 2023 à 07:18 (CEST)

La confusion avec le logarithme décimal, ça ne paraît pas bien sérieux, ça ne s'utilise quasiment plus à ma connaissance. Mais il faut peut-être conclure : au vu des échanges ci-dessus et des liens qui ont été donnés il est clair que "logarithme néperien" est actuellement très majoritaire en français, et ce depuis au moins plusieurs dizaines d'année (depuis quand ? Ce serait intéressant de le savoir), et c'est la dénomination la moins surprenante pour la majorité des débutants (pour les non-débutants ça n'a guère d'importance). Je ne pense pas qu'il faille non plus alourdir systématiquement l'expression (népérien ou naturel), alors qu'au contraire on dit souvent simplement logarithme, ni de remplacement systématique dans les autres pages (qui n'ont qu'à suivre leurs sources) : le lien sur cette page, et la page de redirection suffisent pour régler le problème. Même si, grâce aux pages de redirections, l'enjeu est minime, je procède au renommage. Proz (discuter) 27 septembre 2023 à 11:02 (CEST)

R ou Q?

Il est toujours difficile de présenter de manière synthétique une notion comme le logarithme népérien sachant qu'on peut l'aborder de différente façons.

Si on l'aborde comme solution particulière de l'équation fonctionnelle « pour tout a et b positif f(ab)=f(a) + f(b)», la seule conséquence immédiate est que f(a^r) = rf(a) pour tout rationnel r

Cependant je suis d'accord avec Schlebe pour dire qu'il est dommage que l'on ne puisse pas donner l'égalité : $\ln(a^{x})=xln(a)$ pour tout réel x.

Peut-être pourrait-on le glisser dans la section suivante La fonction logarithme naturel comme réciproque de la fonction exponentielle en complétant la phrase

«Cette définition coïncide évidemment avec celle de a^r pour r rationnel.»

par

«et permet de généraliser la propriété $\ln(a^{r})=r\ln(a)$ à tout exposant réel.»

Qu'en pensez vous? HB (discuter) 2 janvier 2024 à 18:52 (CET)

Je suis du même avis que HB.

Je trouve dommage de limiter la troisième propriété du logarithme népérien à "r" appartenant à l'ensemble Q alors que cette propriété est valable pour "r" appartenant à l'ensemble R.

Personnellement, je trouve qu'il faudrait plutôt ajouter un chapitre "Propriétés des logarithmes" comme c'est le cas à la page Logarithme

Comme cela est écrit actuellement, cela laisse penser que cette propriété n'est valable que si "r" appartient à l'ensemble Q alors que ce n'est pas le cas TOUT CELA parce que cette propriété est mise en évidence dans le chapitre "La fonction logarithme naturel comme fonction logarithme" qui réfère à une page qui indique que le logarithme est la fonction réciproque d'une exponentiation.

Personnellement, je remplacerais le chapitre "La fonction logarithme naturel comme fonction logarithme" par "Propriétés du logarithme népérien". Schlebe (discuter) 3 janvier 2024 à 08:17 (CET)

Bonjour,

Il me semble que l'idée des ces paragraphes est d'introduire le log népérien de plusieurs façons différentes.

Ce paragraphe consiste à partir de l'équation fonctionnelle f(xy)=f(x)+f(y) pour x et y >0 (rajouter f(e)=1 pour le népérien) , et il est intéressant de savoir que sans la continuité il existerait de telles fonctions différentes du logarithme népérien (solutions discontinues en tous points)

Perso je modifierais le titre du paragraphe en "La fonction logarithme naturel (pour contenter les Suisses) comme solution d'une équation fonctionnelle"

Et je rajouterais que la propriété citée s'étendrait à tout réel r par continuité (pour contenter Schlebe)

J’aimais bien partir de l'équation fonctionnelle quand je faisais cours : http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atelecharger/textes/fonctionsusuelles.pdf (je supposais la dérivabilité pour simplifier, mais on peut ne supposer que la continuité) Robert FERREOL (discuter) 3 janvier 2024 à 09:12 (CET)

Bon j'ai tenté de tenir compte de vos observations : mise en évidence des propriétés algébriques, présence de l'argument de la continuité, passage de l'égalité à R. C'est une modification a minima qui n'interdit pas une modification plus substantielle de l'article si on la souhaite et en discute sur cette page. HB (discuter) 4 janvier 2024 à 07:36 (CET)