Discussion:Jeu de Marienbad

Chers lecteurs, il y a dans cet article

une erreur de vocabulaire

une regrettable absence d'autres illustrations.

Quel contributeur aura le temps et le courage de compléter? merci d'avance.Michelbailly (d) 6 janvier 2011 à 18:49 (CET)

Quelques précisions

1) Quelques remarques sur la démonstration de l'article.

Dans l'article, il est écrit que l'ensemble des nombres naturels munis de l'opération ⊕ est un groupe abélien (N ; ⊕) dont chaque élément est d'ordre 2. Cela voudrait dire que tous les éléments sont d'ordre 2, or, ce n'est pas le cas pour l'élément neutre.

Ce groupe (N ; ⊕) est d'ordre infini et est incompatible avec la relation d'ordre usuelle ≤.

Comme indiqué dans l'article, l'opposé de tout élément n est n lui-même : n⊕n = 0.

Pour tout n différent de 0, ({0 ; n} ; ⊕) est un sous-groupe d'ordre 2.

Quelques explications sur le lemme 2.

On pose yk = s ⊕ xk.

Le premier joueur prend xk − yk objets de la rangée k, ce qui revient à remplacer les xk objets par yk objets.

Dans l'article, pour calculer la "somme de Nim" t, on part de s et on retranche xk à s, c'est-à-dire que l'on ajoute l'opposé de xk, qui est xk, puis on ajoute yk.

On peut aussi calculer la somme t de la façon suivante.

On a : s = x1 ⊕ ... ⊕ xk−1 ⊕ xk ⊕ xk+1 ⊕ ... ⊕ xn ;

d'où : t = x1 ⊕ ... ⊕ xk−1 ⊕ yk ⊕ xk+1 ⊕ ... ⊕ xn ;

t = x1 ⊕ ... ⊕ xk−1 ⊕ (s ⊕ xk ) ⊕ xk+1 ⊕ ... ⊕ xn ;

t = s ⊕ ( x1 ⊕ ... ⊕ xk−1 ⊕ xk ⊕ xk+1 ⊕ ... ⊕ xn) ;

t = s ⊕ s donc t = 0.

2) Remarques sur les jeux à stratégie gagnante.

On se restreint ici aux jeux pour lesquels il y a deux types de situations TA et TB et deux joueurs JA et JB qui s'opposent.

En outre, on suppose que, si on est en TA, quoi qu'on fasse, l'adversaire sera en TB et lorsque l'on est en TB, il faut que l'on puisse mettre l'adversaire en TA.

Le graphe correspondant à ce type de jeu comporte deux nœuds, TA et TB avec une flèche partant de TA vers TB et deux flèches partant de TB, l'une allant vers TA et l'autre retournant vers TB.

On considère qu'il y a une stratégie gagnante lorsqu'il y a la possibilité à partir d'une situation TB, de mettre l'adversaire en TA, et que TB soit gagnant. Les situations TA seront alors perdantes.

Il y aura une erreur ou une méconnaissance de la stratégie si on laisse l'adversaire JB en TB. JB pourra alors mettre JA en TA.

On souhaite généralement qu'il y ai en plus un moyen de décision direct pour savoir si on est en TA ou TB, et si on est en TB, comment jouer pour que l'adversaire soit en TA. Ce moyen se traduit souvent par un calcul plus ou moins simple.

Si la situation gagnante est en TA et que la situation TB offre deux possibilités, cette stratégie devient inopérante. C'est celui qui est en position TB qui a alors le choix de rester en position TB ou de mettre l'adversaire en TA. Il n'y a plus de correspondance entre les situations TA et TB et les situations perdantes ou gagnantes. Il faut alors considérer deux autres types de situations TC et TD.

Dans le jeu de Marienbad, lorsque l'on passe à la seconde version, c'est-à-dire celle où celui qui prend la dernière allumette perd, il y peu de différence entre TA et TC et entre TB et TD. De plus, les cas où la stratégie doit être modifiée possèdent une même caractéristique.

Dans certaines configurations de ce jeu, lorsqu'il n'y a qu'une allumette par rangée, le joueur qui est en TB mettra automatiquement son adversaire en TA et réciproquement. La partie est donc entièrement déterminée plusieurs coups avant la fin.

Si dans un jeu, il n'y a qu'une simple alternance entre TA et TB, l'issue est déterminée dès le départ. Tout le problème se résume alors à savoir si on part d'une situation gagnante ou perdante, ce qui limite l'intérêt d'un tel jeu.

La version du jeu de Marienbad où celui qui gagne est celui qui prend la dernière allumette a été détaillée dans l'article. Dans ce cas, la "somme de Nim" est le critère pertinent.

Lorsque s = 0, on est en TA, qui est une position perdante, et sinon, on est en TB. De TB, si on n'applique pas la stratégie, on peut éventuellement laisser l'adversaire en situation gagnante TB comme cela a été remarqué précédemment.

3) Étude de la deuxième version du jeu de Marienbad.

Dans ce cas, celui qui prend la dernière allumette est perdant.

Lorsqu'il n'y a plus qu'une allumette par rangée, si s = 0, la situation est gagnante et on a un nombre pair de lignes. Sinon la situation est perdante.

Ainsi, pour obtenir les nouvelles situations perdantes de type TC et gagnantes TD, on intervertie entre TA et TB les situations avec une seule allumette par rangée.

Lorsque l'on est dans les cas où l'on a une situation gagnante pour laquelle il y a au moins deux allumettes dans une rangée et s'il y a d'autres rangées, elles ne comportent qu'une seule allumette, alors s≠0 et si on applique la méthode de la première version, on a perdu. --Tresage (discuter) 8 décembre 2017 à 17:54 (CET)

Concernant une éventuelle erreur de vocabulaire, ne sachant pas de quoi il s'agit, il est difficile d'éclaircir ce point.

Pour expliquer comment calculer concrètement la somme ⊕, on va prendre quelques exemples et comparer avec d'autres sommes. Tout ce qui suit sera effectuer en binaire. Et on va considérer en premier la somme habituelle.

Pour rappel, voici la liste des 10 premiers entiers naturels, de 0 à 9, écrits en binaire : 0 ; 1 ; 10 ; 11 ; 100 ; 101 ; 110 ; 111 ; 1000 ; 1001

Avec la somme habituelle, on a : 0 + 0 = 0 ; 0 +1 = 1+ 0 = 1 et 1+1 = 10. Pour addition deux entiers, qu'ils soient écrits en binaire ou en décimal, on procède en les écrivant l'un sous l'autre et en les alignant à droite. Il s'agit de la technique que l'on apprend à l'école. On commence par la colonne de droite et s'il y a une retenue, elle vient s'ajouter à la colonne suivante.

Ainsi : 101 + 100 = 1001 ; 1010 + 11 = 1101

Pour la somme ⊕, on a 0⊕0 = 0 ; 0⊕1 = 1⊕0 = 1 et 1⊕1 = 0.

Cette fois-ci, tout se passe comme s'il n'y avait pas de retenue. On s'occupe de chaque colonne indépendamment les unes des autres. Si le nombre de 1 dans la colonne est pair, on met 0, sinon, on met 1.

On a : 101⊕100 = 1 ; 1010⊕11 = 1001.

Il ne faut pas confondre le groupe (N ; ⊕) avec Z-modulo2 muni de l'addition.

Ce dernier groupe ne comporte que deux éléments qui sont des classes d'équivalence sur Z : La classe des nombres pairs, dont le représentant privilégié est 0 et la classe des nombres impairs, représenté habituellement par 1.

C'est donc un groupe d'ordre 2 isomorphe à ({n} ; ⊕) avec n ≠ 0, alors que (N ; ⊕) est d'ordre infini.

Si on désigne par [n] la classe de n, on a : [0]+[0]=[0];[0]+[1]=[1]+[0]=[1] et [1]+[1]=[0]

La somme de deux nombres pairs ou de deux nombres impaires est pair et que la somme d'un nombre pair avec un nombre impair est impair. Concrètement, on ne s'occupe que du chiffre le plus à droite, chiffre qui indique que le nombre est pair ou impair.

On a : [101]+[100]=[1];[1010]+[110]=[0] et [1101]+[11]=[0].

Pour en revenir au jeu de Nim, on a identifié des situations qui sont gagnantes dans les deux versions mais à partir desquelles il faut modifier la stratégie. Il suffit alors de prendre en compte la remarque concernant les différences entre les situations TA et TC d'une part et entre TB et TD d'autre part.--Tresage (discuter) 24 décembre 2017 à 07:49 (CET)