Discussion:Entier relatif

Cet article se recoupe en grande partie avec l'article Construction des entiers relatifs.

Yukito 25 mar 2005 à 17:55 (CET)

Exact, c'est la raison de la refonte d'aujourd'hui (24 juin 2006). HB

Demande de fusion

Entier est un redirect vers entier relatif. C'est une mauvaise idée de séprarer l'article des entiers naturels de l'article des entiers relatifs. Je pense qu'il serait intéressant de fusionner les deux articles en Entier traitant et des entiers naturels et des entiers relatifs. En commençant par la partie Histoire, cela est moins gênant qu'il ne semble.

Il y a un grand manque dans l'article Entier naturel et entier relatif : c'est la pensée pythagoricienne, évidemment. Des considérations sur l'histoire des sciences et l'épistémologie sont nécessaires, et on pourrait consacrer une section entière sur le sujet. N'oublions pas que l'encyclopédie est généraliste. Sur un tel article, on se doit de traiter de la question. Voici une citation de Schützenberg qui résume la position pythagoricienne :

Selon la thèse pytaghoricienne, les plus beaux phénomènes apparaissent avec un entier. C'est le cas de la cristallographie où les angles ne sont pas arbitraires. Cette thès m'importe parce que, selon moi, hors de la physique, il n'y a jamais d'entier

A opposer à une citation d'Alain Connes :

Ce qui me frappe plus que ce soit le fait que ce soit un entier, c'est cette stabilité par déformation. [...] Alors qu'on dispose d'un nombre considérable de paramètres pour déformer l'objet en question, la quantité physique correspondante est insensible à leur déformation

Pour ou contre la fusion ?

Kelemvor 2 février 2007 à 22:37 (CET)

Je ne suis pas très favorable à la fusion car les deux articles traitent de concepts différents, parus à des époques différentes, et ayant eu des destinées différentes. Développer la pensée pythagoricienne dans l'article sur les entiers naturels me semble une excellente idée mais cela ne fait que confirmer mon impression : l'école Pythagoricienne ne reconnait aucune existence aux nombres relatifs non naturels. Attendons d'autres avis pour statuer. HB 2 février 2007 à 23:07 (CET)

Certes, mais la pensée pythagoricienne (que je n'approuve pas) a survécu visiblement à l'école. Et au même au vingtième siècle, on retrouve des pythagoriciens qui s'intéresseraient autant aux entiers négatifs.

Enfin, je ne trouve pas que les destinées soient si différentes.

De plus, il est anormal que Entier pointe vers Entier relatif. Que dira l'individu lambda ? Et serait-ce plus souhaitable de le diriger vers Entier naturel ? Je ne pense pas.

Kelemvor 2 février 2007 à 23:19 (CET)

pourtant entier relatif est un pléonasme. Un entier c'est un élément de Z non ?

par ailleurs d'accord avec HB : il y a essentiellement deux problématiques (axiomes de Peano dans un cas, symétrisation d'un semi groupe dans l'autre cas). Les traiter ensemble risque de semer la confusion. Peps 3 février 2007 à 00:20 (CET)

Mais !? Il ne faut pas commencer l'histoire avec les axiomes de Peano ! Et puis, non, présenter les entiers relatifs comme la symétrisation d'un semi-groupe ... c'est utiliser un marteau-pilon. Dire a posteriori que l'introduction des entiers relatifs relève d'une question plus générale sur les semi-groupes, et que pour justifier rigoureusement leur construction, on utilise cette histoire de symétrisation, oui !

On peut traiter les entiers naturels avec les entiers. Au final, les entiers naturels sont des entiers. La seule importance que je leur attribuerait est double : Historique bien sûr, et Conceptuelle, puisqu'il faut construire l'ensemble des entiers naturels avant l'ensemble des entiers relatifs.

Tu notes toutefois que la construction de l'ensemble des entiers vient après les avoir étudié, du moins après avoir appris les tables d'addition et de multiplication (au CE1 et CE2 en France). De plus, tu notes que pour pouvoir construire l'ensemble des entiers, il faudrait connaitre les raisonnements par récurrence (lycée), et donc les entiers ... Euh ... et si je ne dis pas de bêtise et que je me souviens de mes cours de Logique, on ne construit pas réellement l'ensemble des entiers, mais en réalité une copie dans le modèle de la théorie des ensembles. Ce qui apporte une nuance.

Ekto - Plastor 3 février 2007 à 01:27 (CET)

Si tu parles d'histoire, tu sais bien que le statut des nombres négatifs est très tardif donc historiquement et conceptuellement entier naturel et entier relatif méritent deux articles séparés. Reste le redirect qui ne me parait pas pertinent je te l'accorde : pourquoi ne pas créer une page d'homonymie ?HB 3 février 2007 à 11:53 (CET)

Snif !? Le traitement fait aux entiers n'est vraiment pas pertinent... Et faire une page d'homonymie, c'est encore pire... Ekto - Plastor 3 février 2007 à 13:33 (CET)

mieux vaut un renvoi en tête d'article "pour les entiers positifs, dits naturels, voir entier naturel". Quand je parle d'axiomes de Peano et de symétrisation, ce n'est pas pour démarrer l'article dessus mais pour dire que la problématique est différente

• entier naturel : le fait de toujours pouvoir sauter au suivant, bref l'idée d'énumération (à partir d'une origine) qui est un problème en soi vu toutes les implication que ça a
• entier relatif: se surajoutent le fait de pouvoir toujours sauter dans les deux sens (ce qui est plus difficile !), l'idée d'opposé, les calculs que ça ouvre, toutes choses qui me semblent déboucher sur de nouveaux problèmes.

j'ai peur qu'un article global soit iutilement confus Peps 3 février 2007 à 15:17 (CET)

OK, là tu m'as convaincu. Dans ce cas, entier doit rediriger vers entier naturel, qui lui même aura un lien dès l'intro vers entier (relatif). On peut aussi évoquer les recherches anthropologiques sur la connaissance des entiers, et les problèmes d'énumération... Ekto - Plastor 3 février 2007 à 15:22 (CET)

Zéro?

Je suis un peu surpris par la classification de zéro comme entier positif, mais pas négatif... Je veux bien que ça soit un entier naturel, mais les définitions que j'ai rencontrées sont symétriques: Soit il est positif ET négatif, soit il n'est NI positif NI négatif... Définissant éventuellement les entiers naturels comme étant les entiers positifs, plus zéro (voire sans selon les cas).

J'ai regardé par curiosité dans les autres langues. En anglais, zéro n'est ni positif ni négatif, un point c'est tout. En allemand, pareil, mais laissant la possibilité qu'il soit les deux "si nécessaire". En espagnol, on donne les deux conventions, précisant que c'est soit aucun soit les deux. En italien, la définition est comme en français.

Je ne suis pas au fait de la manière dont les définitions de positif ont été établies (au passage, wiktionary dit que positif signifie "supérieur à zéro"), mais dans la pratique, l'usage est très variable. Je propose donc d'introduire une phrase dans l'article, soit pour confirmer la définition actuelle si elle est justifiée ("A noter que zéro est positif, mais pas négatif"), soit pour expliquer l'ambiguïté de la définition (solution que je préfère vu que l'usage est variable). Ratfox 24 septembre 2007 à 17:09 (CEST)

Effectivement, le nombre zéro est en français positif et négatif, de même qu'une fonction constante est toujours croissante et décroissante, et qu'un nombre est toujours inférieur et supérieur à lui-même. Les relations d'ordre sont par défaut larges en français et strictes en anglais. L'argument invoqué par les français est qu'une fonction non décroissante est logiquement le contraire d'une fonction décroissante, et pas seulement une fonction croissante.--Ambigraphe, le 24 septembre 2007 à 17:33 (CEST)

Et au contraire, nos amis anglais considèrent par défaut les inégalités strictes. "a non-positive integer" désigne un entier négatif ou nul. "a non-decreasing function" signifie litéralement une fonction qui n'est pas strictement croissante et désigne paradoxalement une fonction croissante. Je pense que l'expression anglophone sous-entend la monotomie.

La donnée d'une relation transitive et non réflexive équivaut à la donnée d'une relation transitive, réflexive et non symétrique. Il y a deux manières équivalentes de dire les choses. Kelemvor 24 septembre 2007 à 18:37 (CEST)

Entier rationnel

A mon avis le terme "entier relatif" est scolaire (de niveau sous-académique). Les mathématiciens professionnels, même de langue française (sauf erreur) - et Bourbaki en particulier - ne l'utilisent guère. A la place, ils utilisent "entier rationnel". Dans la construction des nombres (entiers naturels puis rationnels puis nombres rationnels etc.) on peut très bien introduire cette expression avant d'avoir introduit les (nombres) rationnels, avec les définitions convenables. Par contre, le terme "entier rationnel" est problématique du point de vue étymologique (et historique); comprendre son usage est difficile pour qui n'a jamais entendu parler des entiers algébriques: un entier algébrique rationnel, c'est en effet la même chose qu'un entier relatif.

En dépit de cette dernière remarque, je trouve douteux de ne pas avoir mentionné le terme "entier rationnel"; apparemment, il semble que même dans les articles de la wikipédia française traitant de thèmes avancés comme les entiers algébriques déjà mentionnés, on ait insisté d'utiliser "entier relatif". Et si on recherche "entier rationnel" on ne trouve aucun article et aucun usage de cette expression (seulement des articles contenant un des mots la constituant ou les deux, mais indépendamment l'un de l'autre).

Je propose: 1) de créer un article de redirection de "Entier rationnel" vers "Entier relatif"; 2) mentionner dans ce dernier article - dont ceci est la page de disc' - l'existence du synonyme "entier rationnel" avec la raison pourquoi on l'évite dans Wikipédia. --Ulysse (alias UKe-CH) (d) 17 janvier 2008 à 14:14 (CET)

Ça me semble sensé. Ambigraphe, le 17 janvier 2008 à 17:16 (CET)

Si le terme n'apparaît pas dans les articles c'est aussi symptomatique du fait qu'il n'est pas employé si couramment. On utilise beaucoup "entier" tout court. D'aucuns rejettent par ailleurs "entier naturel" au profit de "naturel" ou "entier positif"... Peps (d) 17 janvier 2008 à 17:41 (CET)

Compatibilité de la relation d'ordre avec la multiplication

Je trouve dangereux de dire, hors contexte anneau ou corps, que la relation d'ordre est compatible avec la multiplication. Je sais que la définition "< est compatible avec la seconde loi si et seulement si , pour tout z > 0, x < y implique xz < yz" existe. Mais le dire sans préciser que l'on ne peut multiplier que par des nombres positifs, c'est très dangereux pour nos lecteurs. En effet d'une part, c'est en contradiction avec la notion de compatibilié de la relation d'ordre avec une loi interne (voir Relation d'ordre#compatibilité); D'autre part, c'est conforter le lecteur éventuel (niveau lycée) que l'on a toujours le droit de multiplier une inégalité par un entier en conserver le sens de l'inégalité. J'ai donc modifié le texte.

D'autre part, je partage l'avis de UKe-CH : définir les entiers relatifs à partir des réels n'est pas très logique. Si on veut être accessible, on peut parler de nombres entiers (nombre sans partie fractionnaire, c'est à dire sans chiffre après la virgule) c'est évasif, nombre (?), sans chiffre après le virgule (? : il y a bien des chiffres mais ils sont tous nuls) mais on écrit pour des lecteurs lambdas et pour les autres, autant les envoyer sur la construction de Z qui ne se construit pas comme restriction de l'ensemble des réels. HB (d) 15 novembre 2009 à 17:08 (CET)

Tu as raison de souligner l'écueil que présente la notion de compatibilité d'un ordre avec une loi algébrique. Ta formulation est meilleure que la mienne même si elle ne me satisfait pas tout à fait. J'y réfléchirai et je te proposerai éventuellement autre chose.

En ce qui concerne la première phrase de l'introduction, je rappelle que ce n'est pas forcément une définition (je vous laisse imaginer les dégâts si les entiers relatifs étaient définis au sens moderne du terme en début d'intro. Éléments de la symétrisation d'un monoïde libre monogène ?) Comment pouvez-vous parler de partie fractionnaire en refusant d'évoquer l'existence d'autres nombres au delà des relatifs ? Je vous pose sincèrement la question.

Si on veut vraiment poser la notion de façon élémentaire, il ne faut pas parler de partie fractionnaire. On peut écrire qu'un nombre relatif est composé d'un signe (plus ou moins) et d'un entier naturel appelé valeur absolue. On peut aussi parler de repérage de points isolés sur un axe. Il y a sans doute matière à mieux rédiger cette intro, donnez vos idées ! Mais prétendre que l'ancienne version était plus correcte me semble difficilement défendable. Ambigraphe, le 15 novembre 2009 à 21:53 (CET)

J'aime bien l'idée du nombre relatif défini comme un nombre entier auquel on adjoint un signe. Cela fait frémir les puristes mais c'est la forme qui se révèle souvent la plus accessible. Enfin, oui, la nouvelle version est bien meilleure que l'ancienne (le revert est souvent une solution de facilité qui est un frein pour les améliorations). HB (d) 22 novembre 2009 à 09:39 (CET)

Bien. On peut donc poser en première phrase : « En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel auquel on adjoint un signe positif ou négatif. » Le problème alors est de justifier l'égalité « +0 = −0 » de façon pas trop arbitraire. Ambigraphe, le 22 novembre 2009 à 16:25 (CET)

Tu as raison... m'énerve Qu'il est difficile d'expliquer simplement les notions élémentaires! Ma petite encyclopédie des mathématiques commence par une introduction indiquant les limites de l'utilisation des entiers naturels, pour noter des températures, des altitudes, des dates, des débits ou crédits puis propose : les entiers relatifs sont des entiers naturels non nuls, auxquels on a affecté un signe + ou - « selon leur direction » , auquel on adjoint 0. Les entiers +1, +2, +3, ... sont appelés les nombres <strictement> positifs et les nombres -1, -2, -3, ... sont appelés les nombres <strictement> négatifs. Le nombre 0 peut être noté indifféremment +0 ou -0. Je me demande s'il ne faudrait pas ici déroger à la sacro-sainte consigne consistant à définir l'objet de l'article dans la première phrase. HB (d) 22 novembre 2009 à 17:20 (CET)

Quelle sacro-sainte consigne ? Définir l'objet de l'article dans la première phrase me semble la plupart du temps laborieux, maladroit, faussement réducteur voire trompeur. La première phrase doit introduire la notion dans un contexte, c'est déjà un défi ! Si la définition est faisable dans le premier paragraphe, on peut s'estimer heureux.

Mais revenons à nos moutons. Je propose une reformulation de l'intro. Balancez les critiques ! Ambigraphe, le 22 novembre 2009 à 22:09 (CET)

moi ça me convient bien... (désolée pas de critique); HB (d) 22 novembre 2009 à 22:30 (CET)

Encore l'expression "entier rationnel" et où Bourbaki l'emploie

J'ai pu constater que mon désir que cette expression soit mentionnée a été exaucé (par contre pas ma proposition de dire pourquoi la wikipédia française l'évite en général, mais ça c'est peu important).

On a ajouté que N.Bourbaki emploie le terme. Alors Anne Bauval demande où, "par curiosité", un détail qu'on ne voit que dans l'historique (malheureusement pour le lecteur ordinaire) ... Comme ça peut donner l'impression que l'information est douteuse, je vais revert-er ça. A mon avis, dans un tel cas une meilleure place pour poser la question aurait été cette page de disc.

La question 'où' ayant été posée, je voulais quand-même répondre avant de la supprimer. Comme N.B. ne dit jamais "entier relatif", je croyais que ce serait facile. Mais je n'ai chez moi que peu de volumes de Bourbaki et dans des passages où je m'attendais à trouver l'expression, elle parait manquer: l'expression "un entier rationnel x" est en général remplacée par "un x $\in$ Z". On devrait presque certainement trouver l'expression là où Bourbaki introduit Z, ce qui se passe probablement dans "Algèbre", chap.I (Je n'ai pas envie d'emprunter le livre à la bibliothèque pour pouvoir être plus précis.)--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 7 janvier 2010 à 22:45 (CET)

Chapitre I, § 2, n°5. Mais j'ai un peu l'impression que son usage en français n'est pas si courant que ça (mais c'est juste une impression). Liu (d) 7 janvier 2010 à 23:07 (CET)

Ok mais faudrait l'expliquer, du coup (sûrement parce que ce sont les entiers des rationnels mais je n'ai pas de source). Anne (d) 16 avril 2013 à 16:48 (CEST)

Entier = pas de chiffre autre que zéro "après la virgule" (???)

Un nombre réel est entier s'il est sans partie fractionnaire, c'est-à-dire si son écriture décimale ne comprend pas de chiffre (autre que zéro) « après la virgule ».

Cette formulation n'est-elle pas maladroite, voire même inexacte? Il me semble assez fermement établi aujourd'hui que 0,999... = 1 (il y a même un article Wikipédia consacré exclusivement à ce sujet), et qu'il est donc possible d'écrire un entier en utilisant des 9 "après la virgule".

Ne serait il pas plus juste de dire qu'un nombre est entier s'il peut être écrit sans partie fractionnaire?

--78.236.92.14 (discuter) 18 janvier 2014 à 18:30 (CET)