Discussion:Contrainte holonome

Remarques

"Un corps M ponctuel dont les mouvement sont limités à l'intérieur d'une sphère de centre O et de rayon R vérifie l'inéquation $OM\leq R$ , soit $\|{\vec {r}}_{M}-{\vec {r}}_{O}\|\leq R$ , ce qui est une contrainte non-holonome."

Cet exemple contredit la définition. Et qu'on ne me réponde pas que la différence réside dans le fait que nous avons ci-dessus une inégalité. On peut trés facilement mettre cette contrainte sous forme d'une égalité. Or la définition stipule bien qu'une contrainte est holonome si elle PEUT s'écrire sous la forme indiquée.

De même l'exemple

"$\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {r}}_{i}}}.{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0$, ce qui est une contrainte non holonome, obtenue en dérivant par \ t."

n'est pas trés convaincant. On commence par décrire l'holonomie comme une propriété de la contrainte, propriété qui concerne la possibilité d'être formulé de telle façon. L'exemple ci-dessus la réduit par contre à une propriété de la formule elle-même ... --Burakumin (d) 7 mai 2010 à 14:03 (CEST)

Ces contre-exemples sont tirés, si je me souviens bien, du 1er livre en bibliographie. Pour ta 1ère remarque, sans doute dans la définition manque-t-il des précisions sur la dérivabilité de la fonction f, pour ta 2de, ces deux contraintes sont différentes, bien que l'une soit issue de l'autre (une concerne uniquement les vecteurs positions, l'autre concerne en plus les vecteurs vitesses). Cordialement.--LyricV (d) 7 mai 2010 à 15:45 (CEST)

pour la précision sur la fonction.--LyricV (d) 8 mai 2010 à 09:55 (CEST)

Merci de ta réponse, cela dit, j'ai encore et toujours des réserves à émettre. Pour le premier exemple, la condition de continuité n'est à mon humble avis certainement pas suffisante. Je peux tout à fait trouver une fonction continue f telle que $f\left({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{N}\right)=0$ soit équivalent à $\|{\vec {r}}_{M}-{\vec {r}}_{O}\|\leq R$. Je peux même en trouver une ${\mathcal {C}}^{\infty }$ ! Pour que ça marche il faudrait au moins une fonction analytique, puisque les fonctions analytiques constantes sur un ouvert connexe sont constantes partout. Mais l'analycité est une condition particulièrement restrictive !

Pour la deuxième remarque, si je comprends bien, tu expliques que si l'une des équations implique l'autre, ça ne prouve pas que la réciproque fonctionne. Ce qui effectivement est exact dans le cas général. Mais dans ce cas-ci, j'ai bien l'impression que c'est le cas : par intégration la première équation se déduit de la seconde, à une constante prés (mais peut être n'ai-je pas pris le temps d'y réfléchir suffisament, notament aux conditions de continuité/dérivabilité)--Burakumin (d) 10 mai 2010 à 10:28 (CEST)

Je dois avoir la mémoire qui flanche, mais je ne vois pas comment cette inégalité peut se ramener à une égalité avec une fonction continue. Oui, c'est vrai, mais comme je le disais dans un résumé de modif, les bouquins que j'ai sous la main ne sont pas précis sur ce point : le sujet reste à creuser. Pour la 2ème remarque, il me semble que tu perds de vue l'objet de la contrainte : on est en physique, et contraindre les vecteurs vitesses n'est pas la même chose que contraindre les vecteurs positions, ceci d'autant plus que ces vecteurs sont utilisés comme indépendants dans l'espace des phases. Enfin c'est ainsi que je comprends cela, je dis peut-être des bêtises, il me faudrait peut-être m'y replonger un peu pour avoir les idées plus claires. Cordialement.--LyricV (d) 10 mai 2010 à 13:11 (CEST)

Vérification faite (enfin) dans le livre de Rossen Dandoloff : il s'agit d'équations algébriques, par définition. Et on ne peut dire que la contrainte est holonome qui si on peut mettre les équations sous cette forme.--LyricV (d) 1 août 2010 à 18:11 (CEST)