Discussion:Base d'or

rendre le truc pigeable me semble demander de commencer par rerédiger le premier paragraphe, notamment en marquant les puissances de φ en parallèle du calcul symbolique. Les remarques techniques sur les nombres négatifs ou la liste des chiffres à utiliser sont à marginaliser. Peps 22 juin 2006 à 22:47 (CEST)

j'ai essayé de rendre le 1. pigeable à défaut d'agréable ; quelques ellipses ont été détaillées ; je ne m'explique pas la phrase « Si cette arithmétique est exécutée par un ordinateur, un message d'erreur peut apparaître. » Peps 23 juin 2006 à 15:18 (CEST)

interet ?

Bonjour.

J'ai lu vite fait l'article et j'ai pas compris l'interet d'utiliser la cette base ?? Est-ce juste pour s'amuser ou est-ce que cette base a une application ? merci d'avance. Rémi Thevenoux 7 mars 2007 à 13:47 (CET)

Salut,

Lit l'article nombre d'or qui te permettra de comprendre sur quoi cette 'base' se base.

J'ose émettre l'hypothèse quelle fût créée dans le but de simplifier des calcules, à une époque où les machine à calculer n'existait pas, :'un' nombre en base phinaire pouvant être représenter sous plusieurs forme.

Wilo 12 juillet 2008.

C'est pas la même chose que la représentation de Zeckendorf ?

Voir par exemple en:Zeckendorf's theorem, et le sujet d'algèbre du Capes de maths de 2001 (si ma mémoire est bonne). Si c'est bien le cas il faudrait peut-être en parler non ? Bdc43 (d) 26 octobre 2010 à 16:35 (CEST)

Représentation d'entiers en base d'or: Étapes du calcul

Dans "https://fr.wikipedia.org/wiki/Base_d%27or#Repr.C3.A9senter_les_entiers_sous_forme_de_nombres_en_base_d.27or": démarrons avec l'entier 5, le résultat étant \ldots 00000,00000 \ldots_{\varphi}

La plus haute puissance de \varphi \le 5 est \varphi^3 = 1 + 2 \varphi \approx 4,236067977

En soustrayant ceci de 5, nous avons 5 - (1 + 2 \varphi) = 4 - 2 \varphi \approx 0,763932023 \ldots, le résultat étant alors 1000,00000100_{\varphi}

D'où sort le \varphi^-6 ? Je ne saisis pas l'étape du raisonnement qui l'introduit.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 91.53.36.246 (discuter), le 29/12/14 à 17:18‎.

Erreur corrigée, merci pour le signalement. Anne 29/12/14 à 23h06

projet de refonte

Venue sur la page me renseigner sur la notion de numération phinaire, j'avoue avoir été déçue par l'article. L'introduction est bonne à mon avis, mais cela se gâte après.

• Dès la première section on semble considérer comme des développements phinaires normaux des écritures comme 1[18]2[12], [-1]5, conduisant l'auteur à dire qu'un nombre possède une infinité d'écritures phinaires
• L'article semble dire qu'une standardisation est toujours possible sans jamais prouver qu'elle peut s'opérer en un nombre fini d'étapes
• La recherche du développement phinaire d'un entier s'attarde longuement sur la comparaison de deux éléments de Z[phi] pour réussir à comparer N et phi^n, ne mettant pas assez en évidence que l'important est l'algorithme de recherche plus que la technique de comparaison. De plus, on ne précise pas pourquoi cet algorithme de recherche s'arrête nécessairement si N est entier (comme on l'apprend par la suite, tout entier possède aussi un développement phinaire infini.
• Le point annoncé en intro comme quoi les seuls nombres positifs possédant un développement phinaire fini sont les éléments positifs de Z[phi] n'est ensuite pas développé alors que cela me semble le coeur de l'article.
• Concernant le développement périodique, il se répartit dans deux sections doublon (4-Représenter les rationnels sous forme de nombres en base d'or et 6- division) et comporte des phrases incompréhensibles :« Chaque nombre rationnel peut être représenté sous forme de développement en base $\varphi$, puisque tout élément du corps ℚ[√5] = ℚ + ℚ √5, le corps engendré par les nombres rationnels et √5» (?)
• Je ne vois pas en quoi elle est en relation étroite avec la représentation de Fibonacci (à part la base et la relation de récurrence). Elle me semble davantage en relation étroite avec les nombres de Lucas

Je ne sais pas si ce que je propose est mieux donc je l'annonce avant de le réaliser. je propose une modification de plan

1. Notation (où on expliquera le système de notation pour LE développement phinaire standart et les développement phinaire non standart que l'on présentera comme des notations intermédiaires en cours de calcul

2. Développement phinaire fini

2.1. Passage du non standart au standart

2.2 opérations (addition - soustraction - produit)

2.3. Ensemble des nombres possédant un développement standart fini ( les éléments possédant un DPF sont éléments de Z[phi] - tout entier possède un développement phinaire fini avec la démonstration du créateur de la base d'or (George Bergman, « A Number System with an Irrational Base », Mathematics Magazine, vol. 31,‎ 1957, p. 98–110 (DOI 10.2307/3029218, JSTOR 3029218)) - tout élément de Z[phi] aussi

2.4 Recherche d'un développement phinaire standart (méthode par encadrement entre phi^n et phi^(n+1) - suppression de la technique de comparaison dans Z[phi] - introduction d'une méthode alternative à l'aide des nombres de Lucas et d'un développement intermédiaire non standart)

3. Développement phinaire infini

3.1. Existence et non unicité (tout réel positif possède un développement phinaire standart, tout développement phinaire correspond à un réel - tout élément de Z[phi] possède deux développements

3.2. Division et développement phinaire périodique (technique de division sur les DPF - périodicité pour a/b rationnel non entier - périodicité pour un élément de Q[phi] n'appartenant pas à Z[phi] - tout élément possédant un développement phinaire périodique est élément de Q[phi])

Des objections avant que je ne me lance ? HB (discuter) 26 février 2015 à 09:20 (CET)

Refonte terminée. HB (discuter) 2 mars 2015 à 11:49 (CET)

Unicité

dans les sources que j'ai consultées, l'unicité est quasiment implicite et je n'ai pas trouvé de démonstration explicite de l'unicité d'un développement phinaire, si on interdit l'alternance infinie de 0 et de 1. Dans le cas d'un développement fini, il me semble facile de prouver l'unicité :

• On démontre d'abord, par récurrence sur n, que pour toute suite (a_i) (i entier relatif) de 0 et 1 ne comportant jamais deux 1 consécutifs, et pour tout entier naturel n $\sum _{i=0}^{n}a_{i}\varphi ^{i}<\varphi ^{n+1}$
• par multiplication et division par φ^m, on montre que $\sum _{i=-m}^{n}a_{i}\varphi ^{i}<\varphi ^{n+1}$
• on en déduit que si $x=\sum _{i=-m}^{n}a_{i}\varphi ^{i}$ avec a_n=1 alors φⁿ≤ x < φⁿ⁺¹, ce qui assure l'unicité du poids fort et on recommence le processus sur x - φⁿ

mais ceci est ma démonstration et je préférerais une source plus fiable. HB (discuter) 2 mars 2015 à 11:49 (CET)

Longueur d'un développement phinaire d'un entier

il me semble facile de déterminer, pour tout entier N, la longueur de développement phinaire standard : il suffit de prouver, par récurrence sur k, que si L_2k+1<N<L_2k+2, le développement phinaire possède 2k+2 chiffres avant la virgule et 2k+2 chiffres après la virgule et si L_2k+2 ≤ N ≤ L_2k+3, le développement phinaire possède 2k+3 chiffres avant la virgule et 2k+2 chiffres après la virgule. Cette propriété me semble intéressante mais là je suis en plein TI. Si quelqu'un trouve une source, on pourra peut-être ajouter cette propriété dans l'article. HB (discuter) 2 mars 2015 à 11:49 (CET)

Algorithme glouton fini dans le cas d'un entier

J'étais contente d'avoir trouvé sur le net une démonstration du caractère fini de l'algorithme glouton avec une jolie utilisation de la norme dans Z[φ]. Cependant, une lecture plus attentive de la source montre plusieurs erreurs de typographie et une erreur de raisonnement

• erreurs de typo sur la forme de N(α-1) (mauvaise forme écrite)
• l'auteur affirme que si b ≥ 1 et si 1<α<√5 alors b√5 > 2α -1 ce qui est faux pour b=1

La validité du raisonnement n'est pas en cause car par la suite, α appartient à [1;φ[ encadrement pour lequel l'inégalité est bien vérifiée.

Je laisse donc la source, dans l'attente d'une meilleure source mais signale son caractère imparfait. HB (discuter) 2 mars 2015 à 16:31 (CET)

PS: Même démarche et même erreur chez C. Rousseau[1] qui croit démontrer que si 1<α<√5 alors |N(α)|> |N(α-1)| alors que pour α = φ, |N(α)| = |N(α -1)|=1. À qui se fier? HB (discuter) 2 mars 2015 à 19:31 (CET)