Catégorie des espaces topologiques pointés

La catégorie des espaces topologiques pointés est une catégorie parfois notée Top_$\bullet$.

Définition

La catégorie Top_$\bullet$ est définie par ses objets et par ses flèches :

• un objet de Top_$\bullet$ est un espace pointé, c'est-à-dire un couple $(X,x)$ constitué d'un espace topologique $X$ et d'un point $x$ de $X$ ;
• une flèche $u$ de l'objet $(X,x)$ dans l'objet $(Y,y)$ est une application continue de $X$ dans $Y$, envoyant $x$ sur $y$. Par abus de notation, cette application est encore notée $u$.

Groupe fondamental

Le groupe fondamental $\pi _{1}(X,x)$ d'un espace pointé $(X,x)$ est l'ensemble des classes d'homotopie de lacets de base $x$, muni de la composition des (classes d'homotopie de) lacets.

Tout morphisme d'espaces pointés induit un morphisme des groupes fondamentaux associés, ce qui fait de $\pi _{1}$ un foncteur de la catégorie des espaces pointés dans celle des groupes.