Étant donné trois cercles mutuellement tangents extérieurement
C
1
,
C
2
,
C
3
{\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3}}
de centres
O
1
,
O
2
,
O
3
{\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3}}
, et
C
4
{\displaystyle C_{4}}
le cercle minimum qui les englobe, de centre
O
4
{\displaystyle O_{4}}
non tracé sur la figure, on note
I
k
{\displaystyle I_{k}}
le point de contact de
C
i
{\displaystyle C_{i}}
avec
C
j
{\displaystyle C_{j}}
(
{
i
,
j
,
k
}
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{i,j,k\}=\{1,2,3\}}
), et
I
i
′
{\displaystyle I'_{i}}
le point de contact de
C
i
{\displaystyle C_{i}}
avec
C
4
{\displaystyle C_{4}}
. On note
C
i
′
{\displaystyle C'_{i}}
le cercle passant par
I
j
′
,
I
i
,
I
k
′
{\displaystyle I'_{j},I_{i},I'_{k}}
,
O
i
′
{\displaystyle O'_{i}}
son centre, et
C
4
′
{\displaystyle C'_{4}}
le cercle passant par
I
1
,
I
2
,
I
3
{\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}
.
On a alors les résultats démontrés par Beecroft, complétés par Soland, suivants :
1) Les cercles
C
i
′
{\displaystyle C'_{i}}
sont mutuellement tangents,
I
k
′
{\displaystyle I'_{k}}
est le point de contact de
C
i
′
{\displaystyle C'_{i}}
avec
C
j
′
{\displaystyle C'_{j}}
, et
I
k
{\displaystyle I_{k}}
le point de contact de
C
k
′
{\displaystyle C'_{k}}
avec
C
4
′
{\displaystyle C'_{4}}
.
C
4
{\displaystyle C_{4}}
est le cercle inscrit dans le triangle
O
1
′
O
2
′
O
3
′
{\displaystyle O'_{1}O'_{2}O'_{3}}
,
C
4
′
{\displaystyle C'_{4}}
le cercle inscrit dans le triangle
O
1
O
2
O
3
{\displaystyle O_{1}O_{2}O_{3}}
,
C
i
′
{\displaystyle C'_{i}}
le cercle exinscrit associé à
O
4
{\displaystyle O_{4}}
dans le triangle
O
4
O
j
O
k
{\displaystyle O_{4}O_{j}O_{k}}
, et
C
i
{\displaystyle C_{i}}
le cercle inscrit dans le triangle
(
O
4
′
O
j
′
O
k
′
)
{\displaystyle (O'_{4}O'_{j}O'_{k})}
.
On note
r
i
{\displaystyle r_{i}}
le rayon de
C
i
{\displaystyle C_{i}}
,
k
i
=
1
/
r
i
{\displaystyle k_{i}=1/r_{i}}
sa courbure,
r
i
′
{\displaystyle r'_{i}}
le rayon de
C
i
′
{\displaystyle C'_{i}}
, et
k
i
′
=
1
/
r
i
′
{\displaystyle k'_{i}=1/r'_{i}}
sa courbure.
2) Les huit courbures vérifient les relations de Descartes :
(
∑
k
=
1
4
k
i
)
2
=
2
∑
k
=
1
4
k
i
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{4}k_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k_{i}}^{2}}
et
(
∑
k
=
1
4
k
i
′
)
2
=
2
∑
k
=
1
4
k
i
′
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{4}k'_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}}
.
Démonstration partielle
On note
a
i
=
O
j
O
k
{\displaystyle a_{i}=O_{j}O_{k}}
les longueurs des côtés du triangle
(
O
1
O
2
O
3
)
{\displaystyle (O_{1}O_{2}O_{3})}
,
p
{\displaystyle p}
son demi-périmètre,
S
{\displaystyle S}
son aire.
{
i
,
j
,
k
}
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{i,j,k\}=\{1,2,3\}}
C
4
′
{\displaystyle C'_{4}}
étant le cercle inscrit dans le triangle
(
O
1
O
2
O
3
)
{\displaystyle (O_{1}O_{2}O_{3})}
,
r
4
′
2
=
S
2
p
2
=
(
p
−
a
1
)
(
p
−
a
2
)
(
p
−
a
3
)
p
{\displaystyle {r'_{4}}^{2}={\frac {S^{2}}{p^{2}}}={\frac {(p-a_{1})(p-a_{2})(p-a_{3})}{p}}}
.
D'après les propriétés du cercle inscrit,
p
−
a
i
=
O
i
I
j
=
r
i
{\displaystyle p-a_{i}=O_{i}I_{j}=r_{i}}
, et
p
=
r
1
+
r
2
+
r
3
{\displaystyle p=r_{1}+r_{2}+r_{3}}
, donc
k
4
′
2
=
r
1
+
r
2
+
r
3
r
1
r
2
r
3
=
k
2
k
3
+
k
3
k
1
+
k
1
k
2
{\displaystyle {k'_{4}}^{2}={\frac {r_{1}+r_{2}+r_{3}}{r_{1}r_{2}r_{3}}}=k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}+k_{1}k_{2}}
.
Dans la configuration duale des cercles
C
i
′
{\displaystyle C'_{i}}
, on a donc aussi
k
4
2
=
k
2
′
k
3
′
+
k
3
′
k
1
′
+
k
1
′
k
2
′
{\displaystyle {k_{4}}^{2}=k'_{2}k'_{3}+k'_{3}k'_{1}+k'_{1}k'_{2}}
, et on montre qu'on a aussi :
k
i
′
2
=
k
4
k
j
+
k
j
k
k
+
k
k
k
4
,
k
i
2
=
k
4
′
k
j
′
+
k
j
′
k
k
′
+
k
k
′
k
4
′
{\displaystyle {k'_{i}}^{2}=k_{4}k_{j}+k_{j}k_{k}+k_{k}k_{4},{k_{i}}^{2}=k'_{4}k'_{j}+k'_{j}k'_{k}+k'_{k}k'_{4}}
.
On a alors
∑
k
=
1
4
k
i
2
=
2
∑
1
⩽
i
<
j
⩽
4
k
i
′
k
j
′
{\displaystyle \sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}=2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 4}k'_{i}k'_{j}}
et
∑
k
=
1
4
k
i
′
2
=
2
∑
1
⩽
i
<
j
⩽
4
k
i
k
j
{\displaystyle \sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}=2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 4}k_{i}k_{j}}
Donc
(
∑
k
=
1
4
k
i
)
2
=
∑
k
=
1
4
k
i
2
+
2
∑
1
⩽
i
<
j
⩽
4
k
i
k
j
=
∑
k
=
1
4
k
i
2
+
∑
k
=
1
4
k
i
′
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{4}k_{i}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 4}k_{i}k_{j}=\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}+\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}}
et de la même façon :
(
∑
k
=
1
4
k
i
′
)
2
=
∑
k
=
1
4
k
i
′
2
+
∑
k
=
1
4
k
i
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{4}k'_{i}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}+\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}}
, donc
(
∑
k
=
1
n
k
i
)
2
=
(
∑
k
=
1
n
k
i
′
)
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}k_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}k'_{i}\right)^{2}}
, et
∑
k
=
1
4
k
i
=
∑
k
=
1
4
k
i
′
{\displaystyle \sum _{k=1}^{4}k_{i}=\sum _{k=1}^{4}k'_{i}}
.
D'où les deux relations de Descartes:
(
∑
k
=
1
4
k
i
)
2
=
2
∑
k
=
1
4
k
i
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{4}k_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k_{i}}^{2}}
et
(
∑
k
=
1
4
k
i
′
)
2
=
2
∑
k
=
1
4
k
i
′
2
{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{4}k'_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}}
.
3) On a l'égalité
1
4
∑
k
=
1
4
k
i
=
1
4
∑
k
=
1
4
k
i
′
=
k
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{4}k_{i}={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{4}k'_{i}=k}
et les courbures des
C
i
{\displaystyle C_{i}}
sont reliées à celle des
C
i
′
{\displaystyle C'_{i}}
par les relations
k
=
1
2
(
k
i
+
k
i
′
)
{\displaystyle k={\frac {1}{2}}(k_{i}+k'_{i})}
.
4) Si on pose, pour
{
i
,
j
,
k
}
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{i,j,k\}=\{1,2,3\}}
,
α
i
=
1
4
(
k
i
−
k
j
−
k
k
+
k
4
)
{\displaystyle \alpha _{i}={\frac {1}{4}}(k_{i}-k_{j}-k_{k}+k_{4})}
, les huit courbures sont paramétrées par :
{
k
i
=
k
+
α
i
−
α
j
−
α
k
,
k
i
′
=
k
−
α
i
+
α
j
+
α
k
k
4
=
k
+
α
1
+
α
2
+
α
3
,
k
4
′
=
k
−
α
1
−
α
2
−
α
3
{\displaystyle {\begin{cases}k_{i}=k+\alpha _{i}-\alpha _{j}-\alpha _{k},&k'_{i}=k-\alpha _{i}+\alpha _{j}+\alpha _{k}\\k_{4}=k+\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3},&k'_{4}=k-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}\end{cases}}}
La relation de Descartes s'écrivant alors :
k
2
=
α
1
2
+
α
2
2
+
α
3
2
{\displaystyle k^{2}=\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+\alpha _{3}^{2}}
.
5) Géométriquement, le nombre
2
α
i
{\displaystyle {\sqrt {2}}\alpha _{i}}
est la courbure du cercle
C
i
″
{\displaystyle C''_{i}}
passant par les points de contact
I
j
,
I
k
,
I
j
′
,
I
k
′
{\displaystyle I_{j},I_{k},I'_{j},I'_{k}}
pour
{
i
,
j
,
k
}
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{i,j,k\}=\{1,2,3\}}
.
Les trois cercles
C
1
″
,
C
2
″
,
C
3
″
{\displaystyle C''_{1},C''_{2},C''_{3}}
, deux à deux orthogonaux, déterminent la configuration des huit cercles
C
i
{\displaystyle C_{i}}
et
C
i
′
{\displaystyle C'_{i}}
.
6) Sur la sphère
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
d'équation
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
=
1
{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}
, on marque les points huit points d'intersection avec les axes
I
i
¯
=
x
i
=
1
,
x
j
=
x
k
=
0
,
I
i
′
¯
=
x
i
=
−
1
,
x
j
=
x
k
=
0
{\displaystyle {\overline {I_{i}}}=x_{i}=1,x_{j}=x_{k}=0,{\overline {I'_{i}}}=x_{i}=-1,x_{j}=x_{k}=0}
formant un octaèdre.
Les 3 grands cercles orthogonaux intersections avec les plans de coordonnées
x
i
=
0
{\displaystyle x_{i}=0}
sont notés
C
i
″
¯
{\displaystyle {\overline {C''_{i}}}}
et les cercles circonscrits aux faces de l'octaèdre sont :
C
i
¯
{\displaystyle {\overline {C_{i}}}}
circonscrit à
I
i
′
¯
I
j
¯
I
k
¯
{\displaystyle {\overline {I'_{i}}}{\overline {I_{j}}}{\overline {I_{k}}}}
,
C
4
¯
{\displaystyle {\overline {C_{4}}}}
circonscrit à
I
1
′
¯
I
2
′
¯
I
3
′
¯
{\displaystyle {\overline {I'_{1}}}{\overline {I'_{2}}}{\overline {I'_{3}}}}
,
C
i
′
¯
{\displaystyle {\overline {C'_{i}}}}
circonscrit à
I
i
¯
I
j
′
¯
I
k
′
¯
{\displaystyle {\overline {I_{i}}}{\overline {I'_{j}}}{\overline {I'_{k}}}}
,
C
4
′
¯
{\displaystyle {\overline {C'_{4}}}}
circonscrit à
I
1
¯
I
2
¯
I
3
¯
{\displaystyle {\overline {I_{1}}}{\overline {I_{2}}}{\overline {I_{3}}}}
. Les quatre cercles
C
i
¯
{\displaystyle {\overline {C_{i}}}}
sont mutuellement tangents, ainsi que les quatre
C
i
′
¯
{\displaystyle {\overline {C'_{i}}}}
.
Alors, par projection stéréographique sur un plan tangent à la sphère de sommet le point antipodal de point de contact du plan, on obtient quatre cercles
C
i
{\displaystyle C_{i}}
, quatre cercles
C
i
′
{\displaystyle C'_{i}}
et trois cercles
C
i
″
{\displaystyle C''_{i}}
du type de la configuration de départ, et on obtient ainsi toutes les configurations possibles.