ébauche de contenu pour les articles en lien avec corps fini
merci de ne pas supprimer
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Le corps fini
avec
premier est un corps commutatif cyclique.
divise
Soit le polynôme
de
Supposons qu'il existe un corps
tel que
avec
soit
l'ensemble des racines de
alors
et
est un groupe commutatif
en effet
est racine de
et
de plus ce groupe est cyclique :
(pourquoi ?)
le problème est donc de savoir si
est un groupe et donc si
est un corps et donc
.
puisque
On va créer de toute pièce un corps fini commutatif à q=p^d éléments, où p est un nombre premier. On note ce corpsK_q.
D'abord on fabrique le groupe multiplicatif
:
c'est un groupe cyclique à q-1 éléments. Il a donc un générateur g, et les éléments sont
La multiplication est donc définie comme ceci :
Ensuite, on fabrique le groupe additif :
![{\displaystyle g^{a}+g^{b}=g^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d8c7960a825a94164c9a49adae2d231fc49fb8)
L'addition est donc définie par une table d'addition à
entrées.
Mais pour que la multiplication soit distributive sur l'addition, il faut que :
ou encore :
ainsi, il suffit de connaitre le résultat de
soit q-1 valeurs pour connaitre toute la table d'addition.
Quelle est la structure du groupe additif ? L'approche polynomiale nous dit que
c'est un groupe commutatif produit de
groupes cycliques à
éléments.
puisque
de la même manière,