Théorème d'Alasia

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus.

Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (février 2024).

Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ».

En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?

Le théorème d'Alasia (it) concerne la géométrie du triangle. Il met en relation les côtés d'un triangles et ses point de Brocard. Il s'énonce comme suit^[1]:

Soient $\Omega$ , $\Omega '$ les points de Brocard du triangle $ABC$ ,
$(\Omega \Omega ')/\!/(AB)\Longleftrightarrow BC=AC$ .

Démonstration[modifier | modifier le code]

En notant respectivement $a,b,c$ les longueurs $BC,AC,AB$ , les points $\Omega ,\Omega '$ ont alors pour coordonnées barycentriques ${\textstyle \left({\frac {1}{b^{2}}};{\frac {1}{c^{2}}};{\frac {1}{a^{2}}}\right)}$ et ${\textstyle \left({\frac {1}{c^{2}}};{\frac {1}{a^{2}}};{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$ respectivement. Ainsi, ${\textstyle {\vec {\Omega \Omega '}}}$ est colinéaire à $b^{2}(c^{2}-a^{2}){\vec {AB}}+c^{2}(a^{2}-b^{2}){\vec {AC}}$ .

Si $a=b$ alors ${\textstyle {\vec {\Omega \Omega '}}}$ est colinéaire à $b^{2}(c^{2}-a^{2}){\vec {AB}}$ . Donc ${\textstyle (\Omega \Omega ')}$ est parallèle à $(AB)$ . Réciproquement si ${\textstyle (\Omega \Omega ')}$ est parallèle à $(AB)$ , comme ${\textstyle {\vec {\Omega \Omega '}}}$ est colinéaire à $b^{2}(c^{2}-a^{2}){\vec {AB}}+c^{2}(a^{2}-b^{2}){\vec {AC}}$ , on a $c^{2}(a^{2}-b^{2}){\vec {AC}}={\vec {0}}$ donc $a=b$ ^[2].