Discussion:Partition de l'unité

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La remarque qui suit la preuve du théorème 1 (existence de partitions de l'unité dans le cas métrisable) est inexacte. En effet, le support de la fonction $\phi_i$ donnée est l'adhérence de $U_i$, et n'est donc en général pas contenue dans $U_i$. C'est ce que Bourbaki (Topologie générale, IX) appelle « partition de l'unité faiblement subordonnée au recouvrement $(U_i)$ ». On peut démontrer (Top. gén., IX, p. 46, prop. 3) que cela entraîne l'existence d'une partition de l'unité subordonnée au recouvrement donné, mais la preuve de cette proposition n'est pas totalement évidente.

J'ai supprimé la remarque visée ci-dessus: corriger la démonstration serait presque aussi long que la démonstration dans le cas topologique qui y est déjà, cela n'a pas d'intérêt. Les auteurs du livre cité en référence donnaient une autre définition des partitions de l'unité, adaptée à leurs besoins. C'est le cas classique où on prend l'énoncé dans un livre, la démonstration dans un autre, et la réunion des deux est incohérente.

Support dans $U_{\gamma }$ [modifier le code]

Dans la "démonstration topologique", le support étant fermé par définition, rien ne prouve a priori que le support de $g_{\gamma }$ est dans $U_{\gamma }$ ...

Il vaut mieux reprendre la preuve du Bourbaki qui n'introduit pas les fonctions $g_{i}$ dans un premier temps : la première étape est de montrer qu'il existe un recouvrement $(B_{i})$ tel que ${\overline {B_{i}}}\subset U_{i}$ . Dans un second temps on peut appliquer une deuxième fois cette proposition pour introduire un recouvrement $(C_{i})$ tel que ${\overline {C_{i}}}\subset B_{i}$ . En définissant des $g_{i}$ qui valent $1$ sur ${\overline {C_{i}}}$ , elles sont positives sur $B_{i}$ , nulles en dehors et leur support (fermé) est bien inclus dans $U_{i}$ .

Pour ce qui est de la première étape, il faut reprendre la preuve du Bourbaki qui introduit un ensemble $V$ tel que ${}^{c}U_{\gamma }\subset V$ et ${\overline {V}}\subset C$ (utilisation de T4) et définir $B_{\gamma }={}^{c}{\overline {V}}$ (car alors ${\overline {B_{\gamma }}}={}^{c}V\subset U_{\gamma }$ ).

--Fabrej0 (discuter) 1 mai 2022 à 12:09 (CEST)[répondre]

Théorème 2[modifier le code]

Dans la démo du théorème 2, on invoque la paracompacité pour dire qu'il existe un recouvrement localement fini $(\Omega '_{i})_{i\in I}$ tel que ${\overline {\Omega '_{i}}}\subset \Omega _{i}$ . Avec la paracompacité on a uniquement l'existence d'un recouvrement localement fini $(\Omega '_{j})_{j\in J}$ tel que pour tout $j\in J$ il existe $i\in I$ tel que $\Omega '_{j}\subset \Omega _{i}$ ...

--Fabrej0 (discuter) 1 mai 2022 à 12:10 (CEST)[répondre]

Support dans U γ {\displaystyle U_{\gamma }} [modifier le code]

Théorème 2[modifier le code]

Support dans $U_{\gamma }$ [modifier le code]