Utilisateur:Robert FERREOL/Brouillon

Démonstration par Beecroft de la relation de Descartes, et configuration associée.

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  Configuration de Beecroft.
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  Vue des quatre cercles tangents $C_{i}$ en noir, des quatre cercles tangents $C'_{i}$ grisés, et des trois cercles orthogonaux $C''_{i}$ blancs.

Étant donné trois cercles mutuellement tangents extérieurement $C_{1},C_{2},C_{3}$ de centres $O_{1},O_{2},O_{3}$, et $C_{4}$ le cercle minimum qui les englobe, de centre $O_{4}$ non tracé sur la figure, on note $I_{k}$ le point de contact de $C_{i}$ avec $C_{j}$ ($\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$), et $I'_{i}$ le point de contact de $C_{i}$ avec $C_{4}$. On note $C'_{i}$ le cercle passant par $I'_{j},I_{i},I'_{k}$, $O'_{i}$ son centre, et $C'_{4}$ le cercle passant par $I_{1},I_{2},I_{3}$.

On a alors les résultats démontrés par Beecroft, complétés par Soland, suivants :

1) Les cercles $C'_{i}$ sont mutuellement tangents, $I'_{k}$ est le point de contact de $C'_{i}$ avec $C'_{j}$, et $I_{k}$ le point de contact de $C'_{k}$ avec $C'_{4}$.

$C_{4}$ est le cercle inscrit dans le triangle $O'_{1}O'_{2}O'_{3}$, $C'_{4}$ le cercle inscrit dans le triangle $O_{1}O_{2}O_{3}$, $C'_{i}$ le cercle exinscrit associé à $O_{4}$ dans le triangle $O_{4}O_{j}O_{k}$, et $C_{i}$ le cercle inscrit dans le triangle $(O'_{4}O'_{j}O'_{k})$.

On note $r_{i}$ le rayon de $C_{i}$, $k_{i}=1/r_{i}$ sa courbure algébrique, $r'_{i}$ le rayon de $C'_{i}$, et $k'_{i}=1/r'_{i}$ sa courbure algébrique.

2) Les huit courbures vérifient les relations de Descartes : $\left(\sum _{k=1}^{4}k_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k_{i}}^{2}$ et $\left(\sum _{k=1}^{4}k'_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}$.

Démonstration partielle

On note $a_{i}=O_{j}O_{k}$ les longueurs des côtés du triangle $(O_{1}O_{2}O_{3})$, $p$ son demi-périmètre, $S$ son aire.

$C'_{4}$ étant le cercle inscrit dans le triangle $(O_{1}O_{2}O_{3})$, ${r'_{4}}^{2}={\frac {S^{2}}{p^{2}}}={\frac {(p-a_{1})(p-a_{2})(p-a_{3})}{p}}$.

D'après les propriétés du cercle inscrit, $p-a_{i}=O_{i}I_{j}=r_{i}$, et $p=r_{1}+r_{2}+r_{3}$, donc ${k'_{4}}^{2}={\frac {r_{1}+r_{2}+r_{3}}{r_{1}r_{2}r_{3}}}=k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}+k_{1}k_{2}$.

Dans la configuration duale des cercles $C'_{i}$, on a donc aussi ${k_{4}}^{2}=k'_{2}k'_{3}+k'_{3}k'_{1}+k'_{1}k'_{2}$, et on montre qu'on a aussi : ${k'_{i}}^{2}=k_{4}k_{j}+k_{j}k_{k}+k_{k}k_{4},{k_{i}}^{2}=k'_{4}k'_{j}+k'_{j}k'_{k}+k'_{k}k'_{4}$.

On a alors $\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}=2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 4}k'_{i}k'_{j}$ et $\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}=2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 4}k_{i}k_{j}$

Donc $\left(\sum _{k=1}^{4}k_{i}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant 4}k_{i}k_{j}=\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}+\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}$ et de la même façon : $\left(\sum _{k=1}^{4}k'_{i}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}+\sum _{k=1}^{4}k_{i}^{2}$, donc $\left(\sum _{k=1}^{n}k_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}k'_{i}\right)^{2}$, et $\sum _{k=1}^{4}k_{i}=\sum _{k=1}^{4}k'_{i}$.

D'où les deux relations de Descartes: $\left(\sum _{k=1}^{4}k_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k_{i}}^{2}$ et $\left(\sum _{k=1}^{4}k'_{i}\right)^{2}=2\sum _{k=1}^{4}{k'_{i}}^{2}$.

3) On a l'égalité ${\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{4}k_{i}={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{4}k'_{i}=k$ et les courbures des $C_{i}$ sont reliées à celle des $C'_{i}$ par les relations $k={\frac {1}{2}}(k_{i}+k'_{i})$.

4) Si on pose, pour $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$, $\alpha _{i}={\frac {1}{4}}(k_{i}-k_{j}-k_{k}+k_{4})$, les huit courbures sont paramétrées par :

${\begin{cases}k_{i}=k+\alpha _{i}-\alpha _{j}-\alpha _{k},&k'_{i}=k-\alpha _{i}+\alpha _{j}+\alpha _{k}\\k_{4}=k+\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3},&k'_{4}=k-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}\end{cases}}$.

La relation de Descartes s'écrit alors : $k^{2}=\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+\alpha _{3}^{2}$.

5) Géométriquement, le nombre ${\sqrt {2}}\alpha _{i}$ est la courbure du cercle $C''_{i}$ passant par les points de contact cocycliques $I_{j},I_{k},I'_{j},I'_{k}$ pour $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$.

Les trois cercles $C''_{1},C''_{2},C''_{3}$ , deux à deux orthogonaux, déterminent la configuration des huit cercles $C_{i}$ et $C'_{i}$.

Les quatre cercles mutuellement tangents ${\overline {C_{i}}}$ , les quatre cercles ${\overline {C'_{i}}}$, et les trois cercles ${\overline {C''_{i}}}$ sur la sphère (barres non indiquées sur la figure).

6) Sur la sphère $\mathbb {S} ^{2}$ d'équation $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$, on marque les points six points d'intersection avec les axes ${\overline {I_{i}}}:x_{i}=1,x_{j}=x_{k}=0,{\overline {I'_{i}}}:x_{i}=-1,x_{j}=x_{k}=0$ formant un octaèdre régulier.

Les trois grands cercles orthogonaux deux à deux intersections avec les plans de coordonnées $x_{i}=0$ sont notés ${\overline {C''_{i}}}$ et les cercles circonscrits aux faces de l'octaèdre sont :

${\overline {C_{i}}}$ circonscrit à ${\overline {I'_{i}}}{\overline {I_{j}}}{\overline {I_{k}}}$, ${\overline {C_{4}}}$ circonscrit à ${\overline {I'_{1}}}{\overline {I'_{2}}}{\overline {I'_{3}}}$, ${\overline {C'_{i}}}$ circonscrit à ${\overline {I_{i}}}{\overline {I'_{j}}}{\overline {I'_{k}}}$, ${\overline {C'_{4}}}$ circonscrit à ${\overline {I_{1}}}{\overline {I_{2}}}{\overline {I_{3}}}$. Les quatre cercles ${\overline {C_{i}}}$ sont mutuellement tangents, ainsi que les quatre ${\overline {C'_{i}}}$.

Alors, par projection stéréographique sur un plan tangent à la sphère de pôle le point antipodal du point de contact du plan avec la sphère, on obtient quatre cercles $C_{i}$ , quatre cercles $C'_{i}$ et trois cercles $C''_{i}$ du type de la configuration de départ, et on obtient ainsi toutes les configurations possibles.