Théorème de Pythagore inversé

Visualisation.

Le théorème de Pythagore inversé concerne la hauteur DC d'un triangle ABC rectangle en C. Il spécifie que :

${\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}.$

Il ne doit pas être confondu avec la réciproque du théorème de Pythagore, qui dit que pour un triangle ABC, si $AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$, alors ABC est rectangle en C.

Démonstration

Le théorème se démontre en remarquant d'abord que l'aire S du triangle ABC peut être exprimée de deux façons :

$S={\frac {AB\times CD}{2}}$ et $S={\frac {AC\times BC}{2}}$ On a donc :

$AB\times CD=AC\times BC$

D'où $AB^{2}\times CD^{2}=AC^{2}\times BC^{2}$

$CD^{2}={\frac {(AC\times BC)^{2}}{AB^{2}}}$

En utilisant le théorème de Pythagore :

$CD^{2}={\frac {(AC\times BC)^{2}}{AC^{2}+BC^{2}}}$

d'où :

${\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {AC^{2}+BC^{2}}{(AC\times BC)^{2}}}={\frac {AC^{2}}{(AC\times BC)^{2}}}+{\frac {BC^{2}}{(AC\times BC)^{2}}}={\frac {1}{BC^{2}}}+{\frac {1}{AC^{2}}}$, cqfd.