Convergence normale

En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si $(f_{n})$ est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général $f_{n}$ converge normalement sur X s'il existe une suite de réels u_n tels que :

1. pour tout n, $|f_{n}|$ est majorée par u_n sur X ;
2. la série de terme général u_n converge.

La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme. Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier, si l'ensemble X est muni d'une topologie :

La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement est une fonction continue.

La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue en tout point.

A fortiori, la convergence normale d'une série implique sa convergence simple, autrement dit la convergence de la série en tout point.

Les implications réciproques sont fausses.

Histoire

Cette notion a été introduite par Karl Weierstrass, et baptisée « convergence normale » par René Baire.

Espaces vectoriels normés

Les fonctions bornées sur X à valeurs réelles ou complexes, munies de la norme infinie, forment un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La convergence normale d'une série de telles fonctions se réinterprète comme la convergence absolue dans cet espace : la série de terme général $f_{n}$ converge normalement sur X si

$\sum _{n}{\|f_{n}\|}_{\infty }<\infty$.

Exemples

• La série de terme général $f_{n}(x)={\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}$ converge normalement sur tout compact de R\Z.

$\pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}$.

• Soit $g_{n}$ le produit de $1/n$ par la fonction indicatrice de l'intervalle $\left[n,n+1\right[$. La série $\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}g_{n}$ n'est pas normalement convergente (${\|g_{n}\|}_{\infty }=1/n$) mais elle est uniformément convergente ($\|\sum _{n\geq N}g_{n}{\|}_{\infty }=1/N$).
• Évoquer l'argument de convergence normale est une façon élégante de prouver la continuité de la courbe de Takagi.

Propriétés

• Toute combinaison linéaire de séries normalement convergentes est normalement convergente.
• Tout produit de séries normalement convergentes est normalement convergent.