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En mathématiques , les séries d'Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s'écrire explicitement.
G 4
G 6
G 8
Pour tout entier k ≥ 2, la série d'Eisenstein G 2k est la fonction holomorphe sur le demi-plan des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive définie par
G
2
k
(
τ
)
=
∑
(
m
,
n
)
∈
Z
2
∖
{
(
0
,
0
)
}
1
(
m
+
n
τ
)
2
k
.
{\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}
C'est une forme modulaire de poids 2k , propriété incluant que pour tous entiers relatifs a , b , c , d tels que ad – bc = 1 ,
G
2
k
(
a
τ
+
b
c
τ
+
d
)
=
(
c
τ
+
d
)
2
k
G
2
k
(
τ
)
.
{\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).}
Toute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en G 4 et G 6 grâce à la relation de récurrence suivante (qui fait intervenir des coefficients binomiaux ) :
s
o
i
t
d
k
=
(
2
k
+
3
)
k
!
G
2
k
+
4
,
a
l
o
r
s
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
d
k
d
n
−
k
=
2
n
+
9
3
n
+
6
d
n
+
2
.
{\displaystyle {\rm {soit}}\quad d_{k}=(2k+3)k!G_{2k+4},\quad {\rm {alors}}\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}.}
Les dk apparaissent dans le développement en série entière de la fonction de Weierstrass :
℘
(
z
)
=
1
z
2
+
z
2
∑
k
=
0
∞
d
k
z
2
k
k
!
=
1
z
2
+
∑
k
=
1
∞
(
2
k
+
1
)
G
2
k
+
2
z
2
k
.
{\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.}
Posons
q
=
e
2
π
i
τ
{\displaystyle q={\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}\tau }}
. Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont :
G
2
k
(
τ
)
=
2
ζ
(
2
k
)
(
1
+
c
2
k
∑
n
=
1
∞
σ
2
k
−
1
(
n
)
q
n
)
{\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}
où les coefficients de Fourier c 2k sont donnés par :
c
2
k
=
(
2
π
i
)
2
k
(
2
k
−
1
)
!
ζ
(
2
k
)
=
−
4
k
B
2
k
,
{\displaystyle c_{2k}={\frac {(2\pi {\rm {i}})^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}},}
les Bn désignant les nombres de Bernoulli , ζ la fonction zêta de Riemann et σp (n ) la somme des puissances p -ièmes des diviseurs de n . En particulier,
G
4
(
τ
)
=
π
4
45
(
1
+
240
∑
n
=
1
∞
σ
3
(
n
)
q
n
)
e
t
G
6
(
τ
)
=
2
π
6
945
(
1
−
504
∑
n
=
1
∞
σ
5
(
n
)
q
n
)
.
{\displaystyle G_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\quad {\rm {et}}\quad G_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).}
La somme sur q se resomme en une série de Lambert :
∑
n
=
1
∞
q
n
σ
a
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
n
a
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}
pour tout nombre complexe q de module strictement inférieur à 1.
Ramanujan a donné de nombreuses identités intéressantes entre les tout premiers termes : pour
L
(
q
)
:=
1
−
24
∑
n
=
1
∞
n
q
n
1
−
q
n
,
M
(
q
)
:=
1
+
240
∑
n
=
1
∞
n
3
q
n
1
−
q
n
e
t
N
(
q
)
:=
1
−
504
∑
n
=
1
∞
n
5
q
n
1
−
q
n
,
{\displaystyle L(q):=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}},\quad M(q):=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\quad {\rm {et}}\quad N(q):=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}},}
on a
q
d
L
d
q
=
L
2
−
M
12
,
q
d
M
d
q
=
L
M
−
N
3
e
t
q
d
N
d
q
=
L
N
−
M
2
2
.
{\displaystyle q{\frac {{\rm {d}}L}{{\rm {d}}q}}={\frac {L^{2}-M}{12}},\quad q{\frac {{\rm {d}}M}{{\rm {d}}q}}={\frac {LM-N}{3}}\quad {\rm {et}}\quad q{\frac {{\rm {d}}N}{{\rm {d}}q}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}.}