En physique , un propagateur est une fonction de Green particulière utilisée en électrodynamique quantique , qui peut être interprétée comme l'amplitude de probabilité pour qu'une particule élémentaire se déplace d'un endroit à un autre dans un temps donné.
Le terme propagateur a été introduit en physique par Feynman en 1948[ 1] pour sa formulation de la mécanique quantique en intégrales de chemin , une nouvelle approche de la quantification centrée sur le Lagrangien , contrairement à la procédure habituelle de quantification canonique fondée sur le hamiltonien .
Le propagateur, outil mathématique très commode, sera rapidement identifié par Dyson comme n'étant rien d'autre qu'une fonction de Green . Cette remarque permettra à Dyson de faire en 1948 le lien manquant entre la formulation abstraite de l'électrodynamique quantique développée par Schwinger , et celle, basée sur des diagrammes , inventée indépendamment par Feynman.
Considérons une particule non relativiste de masse
m
{\displaystyle m}
à une dimension, dont l'opérateur hamiltonien s'écrit :
H
^
=
p
^
2
2
m
+
V
(
q
^
)
{\displaystyle {\hat {H}}\ =\ {\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\ +\ V({\hat {q}})}
En représentation de Schrödinger , cette particule est décrite par le ket
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle }
qui obéit à l'équation de Schrödinger :
i
ℏ
d
|
ψ
(
t
)
⟩
d
t
=
H
^
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle i\hbar \ {\frac {d|\psi (t)\rangle }{dt}}\ =\ {\hat {H}}\ |\psi (t)\rangle }
Si l'on se donne à un instant initial
t
0
{\displaystyle t_{0}}
fixé une condition initiale
|
ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle }
, et en supposant que l'opérateur
H
^
{\displaystyle \ {\hat {H}}}
est indépendant du temps[ 2] , on peut écrire la solution de l'équation de Schrödinger aux instants ultérieurs
t
>
t
0
{\displaystyle t>t_{0}}
comme :
|
ψ
(
t
)
⟩
=
e
−
i
H
^
(
t
−
t
0
)
/
ℏ
|
ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle \ =\ e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }\ |\psi (t_{0})\rangle }
Projetons cette équation dans la représentation des positions :
⟨
q
|
ψ
(
t
)
⟩
=
⟨
q
|
e
−
i
H
^
(
t
−
t
0
)
/
ℏ
|
ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle \langle q|\psi (t)\rangle \ =\ \langle q|e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }\ |\psi (t_{0})\rangle }
et insérons la relation de fermeture dans le terme de droite :
1
=
∫
d
q
0
|
q
0
⟩
⟨
q
0
|
{\displaystyle 1\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ |q_{0}\rangle \ \langle q_{0}|}
il vient :
⟨
q
|
ψ
(
t
)
⟩
=
∫
d
q
0
⟨
q
|
e
−
i
H
^
(
t
−
t
0
)
/
ℏ
|
q
0
⟩
⟨
q
0
|
ψ
(
t
0
)
⟩
{\displaystyle \langle q|\psi (t)\rangle \ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ \langle q|e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }\ |q_{0}\rangle \ \langle q_{0}|\psi (t_{0})\rangle }
Compte tenu du fait que
⟨
q
|
ψ
(
t
)
⟩
=
ψ
(
q
,
t
)
{\displaystyle \langle q|\psi (t)\rangle =\psi (q,t)}
, l'équation précédente s'écrit sous la forme :
ψ
(
q
,
t
)
=
∫
d
q
0
⟨
q
|
e
−
i
H
^
(
t
−
t
0
)
/
ℏ
|
q
0
⟩
ψ
(
q
0
,
t
0
)
{\displaystyle \psi (q,t)\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ \langle q|e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }|q_{0}\rangle \ \psi (q_{0},t_{0})}
On définit le propagateur de l'équation de Schrödinger par :
K
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
⟨
q
|
e
−
i
H
^
(
t
−
t
0
)
/
ℏ
|
q
0
⟩
{\displaystyle {K(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \langle q|e^{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }|q_{0}\rangle }}
de telle sorte que la fonction d'onde évolue selon l'équation intégrale :
ψ
(
q
,
t
)
=
∫
d
q
0
K
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
ψ
(
q
0
,
t
0
)
{\displaystyle \psi (q,t)\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ K(q,t|q_{0},t_{0})\ \psi (q_{0},t_{0})}
Comme
ψ
(
q
,
t
)
{\displaystyle \psi (q,t)}
est une solution de l'équation de Schrödinger, le propagateur est aussi une solution de cette équation :
i
ℏ
∂
K
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
∂
t
=
−
ℏ
2
2
m
Δ
q
K
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
+
V
(
q
)
K
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
{\displaystyle i\hbar \ {\frac {\partial K(q,t|q_{0},t_{0})}{\partial t}}\ =\ -\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\ \Delta _{q}\ K(q,t|q_{0},t_{0})\ +\ V(q)\ K(q,t|q_{0},t_{0})}
qui doit de plus vérifier la condition initiale :
lim
t
→
t
0
K
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
δ
(
q
−
q
0
)
{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}K(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \delta (q-q_{0})}
Les mathématiciens parlent dans ce cas d'une solution élémentaire de l'équation de Schrödinger, les physiciens utilisant plutôt le nom de fonction de Green .
Application au calcul d'une amplitude de transition [ modifier | modifier le code ]
L'amplitude de transition pour que la particule passe d'état initial
|
ψ
(
t
1
)
⟩
{\displaystyle |\psi (t_{1})\rangle }
à l'instant
t
1
{\displaystyle t_{1}}
vers un état
|
φ
(
t
2
)
⟩
{\displaystyle |\varphi (t_{2})\rangle }
à l'instant
t
2
>
t
1
{\displaystyle t_{2}>t_{1}}
est donné par l'élément de matrice :
S
1
→
2
=
⟨
φ
(
t
2
)
|
e
−
i
H
^
(
t
2
−
t
1
)
/
ℏ
|
ψ
(
t
1
)
⟩
{\displaystyle S_{1\to 2}\ =\ \langle \varphi (t_{2})|e^{-i{\hat {H}}(t_{2}-t_{1})/\hbar }\ |\psi (t_{1})\rangle }
En insérant deux fois la relation de fermeture, on obtient :
S
1
→
2
=
∫
∫
d
q
1
d
q
2
⟨
φ
(
t
2
)
|
q
2
⟩
⟨
q
2
|
e
−
i
H
^
(
t
2
−
t
1
)
/
ℏ
|
q
1
⟩
⟨
q
1
|
ψ
(
t
1
)
⟩
{\displaystyle S_{1\to 2}\ =\ \int \int \mathrm {d} q_{1}\mathrm {d} q_{2}\ \langle \varphi (t_{2})|q_{2}\rangle \ \langle q_{2}|\ e^{-i{\hat {H}}(t_{2}-t_{1})/\hbar }\ |q_{1}\rangle \ \langle q_{1}|\psi (t_{1})\rangle }
c’est-à-dire :
S
1
→
2
=
∫
∫
d
q
1
d
q
2
φ
∗
(
q
2
,
t
2
)
K
(
q
2
,
t
2
|
q
1
,
t
1
)
ψ
(
q
1
,
t
1
)
{\displaystyle S_{1\to 2}\ =\ \int \int \mathrm {d} q_{1}\mathrm {d} q_{2}\ \varphi ^{*}(q_{2},t_{2})\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ \psi (q_{1},t_{1})}
On constate donc que la connaissance du propagateur permet de calculer n'importe quelle amplitude de transition quantique, au moins formellement.
Expression du propagateur de la particule libre [ modifier | modifier le code ]
On rappelle les relations :
ψ
^
(
p
)
=
∫
d
q
2
π
ℏ
e
−
i
p
q
/
ℏ
ψ
(
q
)
{\displaystyle {\hat {\psi }}(p)\ =\ \int {\frac {\mathrm {d} q}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{\,-\,ipq/\hbar }\ \psi (q)}
ψ
(
q
)
=
∫
d
p
2
π
ℏ
e
+
i
p
q
/
ℏ
ψ
^
(
p
)
{\displaystyle \psi (q)\ =\ \int {\frac {\mathrm {d} p}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{\,+\,ipq/\hbar }\ {\hat {\psi }}(p)}
Avec les notations de Dirac, et en utilisant la relation de fermeture sur les impulsions :
1
=
∫
d
p
|
p
⟩
⟨
p
|
{\displaystyle 1\ =\ \int \mathrm {d} p\ |p\rangle \ \langle p|}
la seconde relation s'écrit :
⟨
q
|
ψ
⟩
=
∫
d
p
2
π
ℏ
e
+
i
p
q
/
ℏ
⟨
p
|
ψ
⟩
=
∫
d
p
⟨
q
|
p
⟩
⟨
p
|
ψ
⟩
{\displaystyle \langle q|\psi \rangle \ =\ \int {\frac {\mathrm {d} p}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ e^{\,+\,ipq/\hbar }\ \langle p|\psi \rangle \ =\ \int \mathrm {d} p\ \langle q|p\rangle \ \langle p|\psi \rangle }
On tire la formule suivante :
⟨
q
|
p
⟩
=
e
+
i
p
q
/
ℏ
2
π
ℏ
{\displaystyle \langle q|p\rangle \ =\ {\frac {e^{\,+\,ipq/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ }
Expression du propagateur de la particule libre [ modifier | modifier le code ]
Pour une particule libre sur la droite, l'opérateur hamiltonien est indépendant de la position :
H
^
=
p
^
2
2
m
{\displaystyle {\hat {H}}\ =\ {\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}}
Le propagateur, qu'on note dans ce cas
K
0
{\displaystyle K_{0}}
, s'écrit alors :
K
0
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
⟨
q
|
e
−
i
p
^
2
(
t
−
t
0
)
/
(
2
m
ℏ
)
|
q
0
⟩
{\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \langle q|e^{-i{\hat {p}}^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}|q_{0}\rangle }
Insérons alors deux fois la relation de fermeture pour les impulsions dans la définition du propagateur :
K
0
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
∫
d
p
∫
d
p
0
⟨
q
|
p
⟩
⟨
p
|
e
−
i
p
^
2
(
t
−
t
0
)
/
(
2
m
ℏ
)
|
p
0
⟩
⟨
p
0
|
q
0
⟩
{\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \int \mathrm {d} p\int \mathrm {d} p_{0}\ \langle q|p\rangle \ \langle p|e^{-i{\hat {p}}^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}|p_{0}\rangle \ \langle p_{0}|q_{0}\rangle }
Le ket
|
p
0
⟩
{\displaystyle |p_{0}\rangle }
étant par définition un état propre de l'opérateur impulsion
p
^
{\displaystyle {\hat {p}}}
, on a :
p
^
|
p
0
⟩
=
p
0
|
p
0
⟩
{\displaystyle {\hat {p}}\,|p_{0}\rangle \ =\ p_{0}\,|p_{0}\rangle }
et l'élément de matrice devient :
⟨
p
|
e
−
i
p
^
2
(
t
−
t
0
)
/
(
2
m
ℏ
)
|
p
0
⟩
=
e
−
i
p
0
2
(
t
−
t
0
)
/
(
2
m
ℏ
)
⟨
p
|
p
0
⟩
{\displaystyle \langle p|e^{-i{\hat {p}}^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}|p_{0}\rangle \ =\ e^{-ip_{0}^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}\ \langle p|p_{0}\rangle }
Sachant que
⟨
p
|
p
0
⟩
=
δ
(
p
−
p
0
)
{\displaystyle \langle p|p_{0}\rangle =\delta (p-p_{0})}
, on obtient pour le propagateur :
K
0
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
∫
d
p
⟨
q
|
p
⟩
e
−
i
p
2
(
t
−
t
0
)
/
(
2
m
ℏ
)
⟨
p
|
q
0
⟩
{\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \int \mathrm {d} p\ \langle q|p\rangle \ e^{-ip^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}\ \langle p|q_{0}\rangle }
Compte tenu de la formule démontrée précédemment avec la transformée de Fourier , il vient :
K
0
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
∫
d
p
e
+
i
p
q
/
ℏ
2
π
ℏ
×
e
−
i
p
2
(
t
−
t
0
)
/
(
2
m
ℏ
)
×
e
−
i
p
q
0
/
ℏ
2
π
ℏ
{\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \int \mathrm {d} p\ {\frac {e^{\,+\,ipq/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\ \times \ e^{-ip^{2}(t-t_{0})/(2m\hbar )}\ \times \ {\frac {e^{\,-\,ipq_{0}/\hbar }}{\sqrt {2\pi \hbar }}}}
qui se réécrit :
K
0
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
∫
d
p
2
π
ℏ
exp
[
i
p
(
q
−
q
0
)
ℏ
−
i
p
2
(
t
−
t
0
)
2
m
ℏ
]
{\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \int {\frac {\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}\ \exp \left[\,{\frac {ip(q-q_{0})}{\hbar }}\ -\ {\frac {ip^{2}(t-t_{0})}{2m\hbar }}\,\right]}
L'argument de l'exponentielle peut se réécrire comme suit :
i
p
(
q
−
q
0
)
ℏ
−
i
p
2
(
t
−
t
0
)
2
m
ℏ
=
−
i
(
t
−
t
0
)
2
m
ℏ
×
[
p
2
−
2
m
p
(
q
−
q
0
)
(
t
−
t
0
)
]
{\displaystyle {\frac {ip(q-q_{0})}{\hbar }}\ -\ {\frac {ip^{2}(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ =\ -\ {\frac {i(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ \times \ \left[\ p^{2}\ -\ {\frac {2mp(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right]}
Or le crochet est le début d'un carré parfait :
p
2
−
2
m
p
(
q
−
q
0
)
(
t
−
t
0
)
=
[
p
−
m
(
q
−
q
0
)
(
t
−
t
0
)
]
2
−
m
2
(
q
−
q
0
)
2
(
t
−
t
0
)
2
{\displaystyle p^{2}\ -\ {\frac {2mp(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ =\ \left[\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right]^{2}\ -\ {\frac {m^{2}(q-q_{0})^{2}}{(t-t_{0})^{2}}}}
donc l'argument de l'exponentielle devient :
−
i
(
t
−
t
0
)
2
m
ℏ
×
[
(
p
−
m
(
q
−
q
0
)
(
t
−
t
0
)
)
2
−
m
2
(
q
−
q
0
)
2
(
t
−
t
0
)
2
]
{\displaystyle -\ {\frac {i(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ \times \ \left[\ \left(\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right)^{2}\ -\ {\frac {m^{2}(q-q_{0})^{2}}{(t-t_{0})^{2}}}\right]}
=
−
i
(
t
−
t
0
)
2
m
ℏ
(
p
−
m
(
q
−
q
0
)
(
t
−
t
0
)
)
2
+
i
m
(
q
−
q
0
)
2
2
ℏ
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle =\ -\ {\frac {i(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ \left(\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right)^{2}\ +\ {\frac {im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}}
Le dernier terme étant indépendant de l'impulsion, il sort de l'intégrale et le propagateur s'écrit :
K
0
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
exp
(
i
m
(
q
−
q
0
)
2
2
ℏ
(
t
−
t
0
)
)
×
∫
d
p
2
π
ℏ
exp
[
−
i
(
t
−
t
0
)
2
m
ℏ
(
p
−
m
(
q
−
q
0
)
(
t
−
t
0
)
)
2
]
{\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ \exp \left({\frac {im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)\ \times \ \int {\frac {\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}\ \exp \left[\,-\ {\frac {i(t-t_{0})}{2m\hbar }}\ \left(\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \right)^{2}\,\right]}
On fait un changement de variable sur les impulsions, les autres paramètres étant fixés :
p
⟶
k
=
p
−
m
(
q
−
q
0
)
(
t
−
t
0
)
⟹
d
p
⟶
d
k
=
d
p
{\displaystyle p\ \longrightarrow \ k\ =\ p\ -\ {\frac {m(q-q_{0})}{(t-t_{0})}}\ \Longrightarrow \ \mathrm {d} p\ \longrightarrow \ \mathrm {d} k\ =\ \mathrm {d} p}
ce qui donne :
K
0
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
1
2
π
ℏ
exp
(
i
m
(
q
−
q
0
)
2
2
ℏ
(
t
−
t
0
)
)
×
∫
d
k
exp
[
−
i
(
t
−
t
0
)
k
2
2
m
ℏ
]
{\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ {\frac {1}{2\pi \hbar }}\ \exp \left({\frac {im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)\ \times \ \int \mathrm {d} k\ \exp \left[\,-\ {\frac {i(t-t_{0})k^{2}}{2m\hbar }}\,\right]}
Il subsiste une intégrale Gaussienne qui se calcule exactement :
∫
d
k
e
−
α
k
2
=
π
α
{\displaystyle \int \mathrm {d} k\ e^{-\alpha k^{2}}\ =\ {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}}
On en déduit que :
K
0
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
1
2
π
ℏ
2
π
m
ℏ
i
(
t
−
t
0
)
exp
(
+
i
m
(
q
−
q
0
)
2
2
ℏ
(
t
−
t
0
)
)
{\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ {\frac {1}{2\pi \hbar }}\ {\sqrt {\frac {2\pi m\hbar }{i(t-t_{0})}}}\ \exp \left({\frac {+im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)}
d'où l'expression finale du propagateur libre :
K
0
(
q
,
t
|
q
0
,
t
0
)
=
m
2
π
i
ℏ
(
t
−
t
0
)
exp
(
+
i
m
(
q
−
q
0
)
2
2
ℏ
(
t
−
t
0
)
)
{\displaystyle K_{0}(q,t|q_{0},t_{0})\ =\ {\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t-t_{0})}}}\ \exp \left({\frac {+im(q-q_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)}
Pour une particule libre dans un espace Euclidien à d dimensions, on pourrait démontrer de façon analogue que :
K
0
(
q
→
,
t
|
q
→
0
,
t
0
)
=
(
m
2
i
π
ℏ
(
t
−
t
0
)
)
d
/
2
exp
(
+
i
m
(
q
→
−
q
→
0
)
2
2
ℏ
(
t
−
t
0
)
)
{\displaystyle K_{0}({\vec {q}},t|{\vec {q}}_{0},t_{0})\ =\ \left(\,{\frac {m}{2i\pi \hbar (t-t_{0})}}\,\right)^{d/2}\ \exp \left({\frac {+im({\vec {q}}-{\vec {q}}_{0})^{2}}{2\hbar (t-t_{0})}}\right)}
La fonction d'onde à un instant
t
2
>
t
1
{\displaystyle t_{2}>t_{1}}
est donnée par l'équation intégrale :
ψ
(
q
2
,
t
2
)
=
∫
d
q
1
K
(
q
2
,
t
2
|
q
1
,
t
1
)
ψ
(
q
1
,
t
1
)
{\displaystyle \psi (q_{2},t_{2})\ =\ \int \mathrm {d} q_{1}\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ \psi (q_{1},t_{1})}
En introduisant dans cette équation la relation entre
ψ
(
q
1
,
t
1
)
{\displaystyle \psi (q_{1},t_{1})}
et
ψ
(
q
0
,
t
0
)
{\displaystyle \psi (q_{0},t_{0})}
, on obtient :
ψ
(
q
2
,
t
2
)
=
∫
d
q
1
K
(
q
2
,
t
2
|
q
1
,
t
1
)
∫
d
q
0
K
(
q
1
,
t
1
|
q
0
,
t
0
)
ψ
(
q
0
,
t
0
)
{\displaystyle \psi (q_{2},t_{2})\ =\ \int \mathrm {d} q_{1}\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ \int \mathrm {d} q_{0}K(q_{1},t_{1}|q_{0},t_{0})\ \psi (q_{0},t_{0})}
qu'on peut écrire :
ψ
(
q
2
,
t
2
)
=
∫
d
q
0
[
∫
d
q
1
K
(
q
2
,
t
2
|
q
1
,
t
1
)
K
(
q
1
,
t
1
|
q
0
,
t
0
)
]
ψ
(
q
0
,
t
0
)
{\displaystyle \psi (q_{2},t_{2})\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ \left[\ \int \mathrm {d} q_{1}\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ K(q_{1},t_{1}|q_{0},t_{0})\ \right]\ \psi (q_{0},t_{0})}
Mais comme on peut aussi écrire directement que :
ψ
(
q
2
,
t
2
)
=
∫
d
q
0
K
(
q
2
,
t
2
|
q
0
,
t
0
)
ψ
(
q
0
,
t
0
)
{\displaystyle \psi (q_{2},t_{2})\ =\ \int \mathrm {d} q_{0}\ K(q_{2},t_{2}|q_{0},t_{0})\ \psi (q_{0},t_{0})}
On en déduit la formule fondamentale suivante :
K
(
q
2
,
t
2
|
q
0
,
t
0
)
=
∫
d
q
1
K
(
q
2
,
t
2
|
q
1
,
t
1
)
K
(
q
1
,
t
1
|
q
0
,
t
0
)
{\displaystyle K(q_{2},t_{2}|q_{0},t_{0})\ =\ \int \mathrm {d} q_{1}\ K(q_{2},t_{2}|q_{1},t_{1})\ K(q_{1},t_{1}|q_{0},t_{0})}
Cette relation porte le nom d'équation de Chapman-Kolmogorov dans la théorie des processus stochastiques, dont le mouvement brownien est un cas particulier.
↑ Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics , Dover Publications, Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6 ) . Lire également la référence suivante.
↑ Si l'hamiltonnien est dépendant du temps, une analyse détaillée des notions utilisées permet de définir et d'utiliser l'intégrale de cet opérateur par rapport au temps.
Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics , Dover Publications , Inc. (1958) (ISBN 0-486-60444-6 ) . Lire également la référence suivante.
Richard P. Feynman and André R. Hibbs, Quantum Physics and Path Integrals , New York: McGraw-Hill, 1965 [ (ISBN 0-070-20650-3 ) ]. La référence historique, écrite par le Maître et l'un de ses élèves.
Freeman Dyson ; Georges Green and physics , Physics World (août 1993 ), 33-38.
Voir aussi la bibliographie de l'article : intégrale de chemin .