Anneau topologique

En mathématiques, un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie compatible avec les opérations internes, c'est-à-dire telle que l'addition, l'application opposée^[1] et la multiplication soient continues.

Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui rend continues l'addition, la multiplication et l'application inverse^[2].

Ces structures étendent la notion de groupe topologique.

Exemples[modifier | modifier le code]

Tous les corps de nombres usuels (rationnels, réels, complexes, p-adiques) ont une ou plusieurs topologies classiques qui en font des corps topologiques. Il s'agit essentiellement des topologies induites par la distance usuelle ou la distance p-adique.
L'ensemble des applications d'un ensemble $X$ vers un anneau topologique constitue un anneau topologique pour la topologie de la convergence simple. Lorsque l'ensemble $X$ est lui-même un espace topologique, le sous-anneau des fonctions continues est un anneau topologique pour la topologie compacte-ouverte.
Toute algèbre normée est un anneau topologique.
Tout sous-anneau d'un anneau topologique est un anneau topologique pour la topologie induite.
Tout anneau muni de la topologie discrète ou de la topologie grossière constitue un anneau topologique.

Topologie I-adique[modifier | modifier le code]

Étant donné un anneau commutatif $R$ et un idéal $I$ de $R$ , la topologie $I$ -adique de $R$ est définie par la base de voisinages en chaque point $x$ de $R$ de la forme : $x+I^{n}$ , où $n$ décrit tous les entiers naturels.

Cette topologie fait de l'anneau $R$ un anneau topologique, qui est séparé si et seulement si l'intersection des puissances de l'idéal $I$ est réduite à l'élément nul :

\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I^{n}=\{0\}

.

Dans ce cas, la topologie est métrisable par une distance ultramétrique définie de la manière suivante :

pour tous

x

≠

y

éléments de

R

,

d(x,y)=1/2^{k}

où

k

est la plus grande puissance de l'idéal qui contient la différence

x-y

.

La topologie p-adique sur les entiers relatifs est ainsi construite avec l'idéal $I$ des multiples entiers de $p$ .

Complétion d'un anneau métrisable[modifier | modifier le code]

Lorsqu'un anneau topologique est métrisable, les opérations s'étendent continûment (de façon unique) à sa complétion métrique, qui devient ainsi son anneau complété (en).

Notes[modifier | modifier le code]

↑ La continuité de l'application opposée est automatiquement vérifiée si l'anneau est unitaire.
↑ Il existe toutefois des anneaux topologiques qui sont des corps sans satisfaire cette dernière condition.

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[1] La continuité de l'application opposée est automatiquement vérifiée si l'anneau est unitaire.

[2] Il existe toutefois des anneaux topologiques qui sont des corps sans satisfaire cette dernière condition.

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